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etude de la fonction f(x)=x+sinx
bonjours tt le monde j'ai trouvé un exercice sur le net pour
préparer mon ds de maths.mais je n'arrive pas a le faire.une
petite aide serait la bienvenue.voila l'exercice :
f(x)=x+sin x
1.Calculer f(x+2 
) et l'exprimer a l'aide de f(x).
2.verifiez que f est impaire.(j'ai trouvé ette question)
3.Déduire des deux questions précédentes qu'il suffit d'étudier f
sur l'intervalle [0; ] pour obtenir toute sa représentation
graphique C.
4.Etudier f sur [0; ].
5.Déterminer les points en lesquels C admet une tangente parallèle à la droite
d'équation y=x.
6.Tracer C et les tangentes à C parallèles a l'axe des abscisses ou à
.
7.En remarquant que pour x non nul: f(x)=x(1+((sin x)/x)), calculer:-lim
de f(x) quand x tend vers + 
et lim de f(x) quand
x tend vers - .
Je remercie d'avance tout(e)s ceux qui m'aiderons a comprendre
ce petit exercice.
s'il vs plait je ne comprend rien aidez moi.
Salut marvin17 !
1. pour la première question, tu dois remplacer tous les "x" par "x+2
"
donc f(x+2 ) = x+2 +sin (x+2 )
or sin (x+2 ) = sin(x) car la fonction sinus est 2-périodique.
D'où f(x+2 ) = x+sin (x) +2
et donc f(x+2 ) = f(x) + 2
2. là , tu as su faire. très bien.
3. d'après la question 1, dès que tu connais les variations de
f sur un intervalle de longueur 2, tu peux en déduire
ses variations sur 
tout entier.
Par exemple, si tu étudies f sur [-;], et que
x appartient à cet intervalle, alors le point de coordonnées (x+2
; f (x+2 ) est simplement l'image
du point de coordonnées (x;f(x) ) par translation de vecteur de coordonnées
(2 ; 0)
Donc, par cette translation, tu peux construire petit à petit toute la
courbe à partir seulement du morceau sur [-;].
Mais, d'après la question 2, f est impaire. Donc sa courbe admet le
centre du repère pour centre de symétrie... donc il suffit de construire
Cf pour les x positifs, et par symétrie centrae, tu obtiendras le
reste de la courbe...
Donc en n'étudiant f que sur [0; ], puis en utilisant
la sym centrale, tu en déduis le conportement de f sur [-;].
Et là, par la translation, tu peux connaître ta fonction sur
1)
f(x+2Pi) = x + 2Pi + sin(x + 2Pi)
f(x+2Pi) = x + 2Pi + sin(x)
f(x+2Pi) = 2Pi + f(x)
-----
2)
f(-x) = -f(x) -> f(x) est impaire
-----
3)
Comme f(x) est impaire, de l'étude de f(x) sur [0 ; pi], on peut déduite
f(x) sut [-Pi ; 0]
-> f(x) est étudiée sur [-Pi ; Pi] (donc dans sur un intervalle de 2Pi)
Et comme f(x+2Pi) = 2Pi + f(x), on peut donc déduire la réprésentation
de f(x) pour tout x (par décalage de 2Pi dans les ordonnées chaque
fois que x varie de 2Pi).
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4)
f(x)=x+sin x
f '(x) = 1 + cos(x)
f '(x) > 0 pour x dans [0 ; Pi] -> f(x) est croissante.
f '(x) = 0 pour x = Pi
f(0) = 0
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5)
Il faut que f '(a) = 1
f '(x) = 1 + cos(x)
-> cos(x) = 0 , soit pour x = Pi/2 + k.Pi avec k dans Z.
Soit pour tous les points de f(x) d'abscisse = Pi/2 + k.Pi
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6)
Les dessins sont pour toi.
Les tangentes à C parallèles à l'axe des abscisses, le sont aux
points pour lesquels f '(x) = 0 soit aux points de C d'abscisse
= Pi + 2k.Pi (avec k dans Z).
-----
7)
f(x)=x(1+((sin x)/x)),
lim(x->oo) f(x) = oo
lim(x->-oo) f(x) = -oo
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Sauf distraction. 
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