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Étude des fonctions

Posté par
Mathes1 20-05-20 à 23:21

Bonsoir à tous,
J'ai un exercice merci beaucoup d'avance ;
Soit f une fonction définie par ;
f(x)={\color{red}{\huge \dfrac{x²-2x+1}{x-3}}}
1) Déterminer Df
2) Déterminer les limites aux bornes de Df
3) Déterminer les réels a et b , c tel que;
f(x)={\color{red}{\huge ax+b+\dfrac{c}{x-3}}} , Df.
4) Étudier les branches infinies de la courbe (Cf)
5) Étudier les variations de f et dresser le tableau de variation de f
6) Montrer que le point (3;4) est un centre de symétrie de (Cf)
7) Calculer f"(x) , x Df et étudier la concavité de( Cf)
8) Étudier la position de  la courbe (Cf) et son asymptote oblique
9) Déterminer les points
d'intersections de la courbe (Cf) avec les axes des repères .
10) Déterminer l'équation de la tangente (T) à la courbe (Cf) en points x0=2
11) Tracer la courbe ( Cf)
Merci beaucoup d'avance

Posté par
Glapion Moderateurre : Étude des fonctions 20-05-20 à 23:23

Bonsoir, et tu en es où ?

Posté par
Mathes1re : Étude des fonctions 20-05-20 à 23:33

Alors je propose;
1) Df= \ {3}
2) \lim_{x\to 3+} \dfrac{x²-2x+1}{x-3} =+\infty
\lim_{x\to 3- } \dfrac{x²-2x+1}{x-3}=-\infty
Donc limite de 3 n'existe pas.
Est ce que je dois calculer la limite en + l'infini et - l'infini ?
Pour la question 3 je veux une petite indication s'il vous plaît merci beaucoup d'avance

Posté par
Glapion Moderateurre : Étude des fonctions 21-05-20 à 00:23

Citation :
Donc limite de 3 n'existe pas.

pourquoi dis-tu ça ? la limite à gauche et à droite ne sont pas les même c'est vrai, sur l'asymptote verticale en x = 3 la courbe saute de - à + OK

oui il faut calculer les limites en + l'infini et - l'infini , ce sont aussi des bornes du domaine de définition.

Pour la 3) réduis ax + b + c/(x-3) au même dénominateur et identifie le numérateur avec x²-2x+1, ça te permettra de trouver a;b et c

Posté par
Mathes1re : Étude des fonctions 21-05-20 à 01:06

Bonsoir,
Merci beaucoup de m'avoir répondu !
2) la suite...
\lim_{x\to +\infty } \dfrac{x²-2x+1}{x-3}=+\infty
\lim_{x\to -\infty } f(x)=-\infty
3) f(x)= \dfrac{(x-3)(ax+b)}{x-3}+\dfrac{c}{x-3}=\dfrac{ax²+bx-3ax-3b+c}{x-3}=\dfrac{ax(x-3)+b(x-3)+c}{x-3}=\dfrac{(ax+b)(x-3)+c}{x-3}=\dfrac{(x+1)(x-3)+4}{x-3}
D'où :
\boxed{a=1 ,b=1 , c=4}
Merci beaucoup !

Posté par
Glapion Moderateurre : Étude des fonctions 21-05-20 à 11:18

OK, et la suite ? pas de problème ?

Posté par
Mathes1re : Étude des fonctions 21-05-20 à 14:55

Bonjour,
Merci beaucoup de m'avoir répondu
\lim_{x\to +\infty} \dfrac{f(x)}{x}=\dfrac{\dfrac{x²-2x+1}{x-3}}{x}=\dfrac{x²-2x+1}{x²-3x}=\lim_{x\to +\infty } \dfrac{x²}{x²}=1
\lim_{x\to +\infty } f(x)-ax=\lim_{x\to +\infty }\dfrac{x²-2x+1}{x-3}- x=1
est ce que on peut dire que :
la courbe admet une branche parabolique de direction la droite d'équation y=x au voisinage de +l'infini
Même si on a une contradiction avec
\lim_{x\to +\infty} f(x)-ax =±\infty
Merci beaucoup

Posté par
Priamre : Étude des fonctions 21-05-20 à 15:17

Cette branche, pourquoi "parabolique" ?

Posté par
Mathes1re : Étude des fonctions 21-05-20 à 15:33

Bonjour,
Nous avons étudié juste les branches parabolique,est ce qu'il y a d'autres branches ?
Merci beaucoup

Posté par
Mathes1re : Étude des fonctions 21-05-20 à 15:47

Bonjour,
Pour la 5)
On calcule f'(x),
Je trouve ; f'(x)={\color{red}{\huge \dfrac{x²-6x+5}{(x-3)²} }}
Ensuite on résoudre l'équation f'(x)=0
Je trouve x1=1 et x2=5
D'où le tableau de variation ;
Étude des fonctions
f(1)=0 et f(5)=8
\lim_{x\to +\infty}=+\infty
\lim_{x\to -\infty }=-\infty
Merci beaucoup
5) je veux une petite indication s'il vous plaît merci beaucoup d'avance !

Posté par
Priamre : Étude des fonctions 21-05-20 à 15:54

D'autres branches ? Oui, les branches asymptotiques.

Posté par
Priamre : Étude des fonctions 21-05-20 à 15:59

Dans ton tableau, le signe de f '(x) est incorrect.

Posté par
Mathes1re : Étude des fonctions 21-05-20 à 16:22

Bonjour,
Merci beaucoup de m'avoir répondu !
Cette fonction admet une asymptote verticale en x=3.
Et cela est-il correct ?

Citation :

est ce que on peut dire que :
la courbe admet une branche parabolique de direction la droite d'équation y=x au voisinage de +l'infini
Même si on a une contradiction avec
\lim_{x\to +\infty} f(x)-ax =±\infty
Merci beaucoup

Mais pourquoi le signe de f' est faux ?
Merci beaucoup

Posté par
Mathes1re : Étude des fonctions 21-05-20 à 17:43

Bonjour

S'il vous plaît est ce qu'il y a une réponse ?
Il y a quelqu'un?

Posté par
Priamre : Étude des fonctions 21-05-20 à 18:02

En fait, ce n'est pas le signe de f '(x) qui est erroné, mais celui de f(x), qui change de part et d'autre de la valeur interdite  3 .

Posté par
Mathes1re : Étude des fonctions 21-05-20 à 18:29

Bonjour,
D'accord merci beaucoup
\lim_{x\to 3^{+}} f(x)=+\infty
\lim_{x\to 3^{-}} f(x)=-\infty

Posté par
Mathes1re : Étude des fonctions 21-05-20 à 19:02

Bonjour,
6)
f(2a-x)+f(x)=\dfrac{(2a-x)²-2(2a-x)+1}{(2a-x)-3}+\dfrac{x²-2x+1}{x-3}=\dfrac{(6-x)²-2(6-x)+1}{(6-x)-3}+\dfrac{x²-2x+1}{x-3}=2×\red{4}=8
Donc (3,4) est un centre de symétrie de Cf
Merci beaucoup

Posté par
Mathes1re : Étude des fonctions 21-05-20 à 19:49

Bonjour,
7)
Pour le calcul de f" je trouve.
f''(x)={\color{red}{\huge \dfrac{8}{(x-3)³}}}
Et puis,
Étude des fonctions
f est concave en ]-l'infini ;3 [et convexe en ]3;+l'infini [.
Mais je ne comprends pas la question 8 pouvez vous me donner une petite indication s'il vous plaît ?
Merci beaucoup d'avance

Posté par
Mathes1re : Étude des fonctions 21-05-20 à 21:19

Bonsoir,
Merci beaucoup quand même !
8) asymptote oblique y=x+1
Et désolé de vous déranger
Étude des fonctions
Merci beaucoup

Posté par
Mathes1re : Étude des fonctions 22-05-20 à 14:50

Bonjour à tous,
Est ce que mes propositions sont justes ?
Merci beaucoup

Posté par
Priamre : Étude des fonctions 22-05-20 à 16:04

Oui, tout est juste.

Posté par
Mathes1re : Étude des fonctions 22-05-20 à 16:19

Bonjour
Merci beaucoup de m'avoir répondu !
Alors maintenant nous sommes à la question numéro 9

Citation :
Déterminer les points d'intersections de la courbe Cf avec les axes des repères

Je ne comprends pas cette question
Pouvez vous me donner une petite indication s'il vous plaît
Merci beaucoup à vous !
10) je pense qu'il s'agit de
{\color{red}{\huge (T):y=f'(2)(x-2)+f(2)
Merci beaucoup

Posté par
Glapion Moderateurre : Étude des fonctions 22-05-20 à 16:29

Pour l'axe des y il te suffit de faire f(0) pour trouver l'ordonnée
et pour l'axe des x, il te suffit de résoudre f(x) = 0 pour trouver les abscisses des points.

Pour 10) oui c'est ça, reste à trouver f'(2) et f(2)

Posté par
Mathes1re : Étude des fonctions 22-05-20 à 16:34

Bonjour,
Merci beaucoup de m'avoir répondu !
f(0)=\dfrac{-1}{3}
f(x)=0. <==> x=1
Donc les points d'intersections da la courbe Cf avec les axes des repères est
A( -1/3 ,1)
Merci beaucoup

Posté par
Mathes1re : Étude des fonctions 22-05-20 à 16:41

10)
{\color{red}{\huge (T):y=-3(x-2)-1=-3x+5}}
[b]11)[/b]

Citation :
Tracer la courbe Cf

Quel courbe ? Une petite indication s'il vous plaît merci beaucoup

Posté par
Glapion Moderateurre : Étude des fonctions 22-05-20 à 16:56

Citation :
Donc les points d'intersections da la courbe Cf avec les axes des repères est
A( -1/3 ,1)

non pas du tout, tu penses vraiment que ton point A est sur ox ou oy ??

l'intersection avec oy est (0;-1/3) et l'intersection avec ox est (1;0)

Comment ça quelle courbe ? il n'y en a pas 36. Pour tracer Cf tu as maintenant tout ce qu'il faut, tu as les asymptotes, les variations, la tangente en x=2 les points d'intersection avec les axes, etc ...

Posté par
Mathes1re : Étude des fonctions 22-05-20 à 17:28

Bonjour,
Merci beaucoup de m'avoir répondu !
11)
Merci beaucoup

Étude des fonctions

Posté par
Priamre : Étude des fonctions 22-05-20 à 19:00

Elle n'est vraiment pas belle, ta courbe ! Pourquoi n'utilises-tu pas le logiciel Sinequanon pour la tracer?

Posté par
Mathes1re : Étude des fonctions 22-05-20 à 19:22

Bonjour,
Merci beaucoup de m'avoir répondu !
Voilà ce que j'ai tracé :
-Asymptote oblique \boxed{\red{y=x+1}}
-Asymptote verticale \boxed{x=3}
- la courbe de f
- le centre de symétrie ( 3,4)
-l'équation de la tangente (T)
Merci beaucoup

Posté par
Priamre : Étude des fonctions 22-05-20 à 19:33

Tout cela est juste, mais ta courbe . . .
Note que l'asymptote oblique concerne la branche en haut à droite comme la branche en bas à gauche.

Posté par
Glapion Moderateurre : Étude des fonctions 22-05-20 à 23:11

Oui c'est vrai ça ! essaye de faire une courbe qui se rapproche de ses asymptotes quand même

Étude des fonctions

Posté par
Mathes1re : Étude des fonctions 23-05-20 à 14:38

Bonjour,
Merci beaucoup de m'avoir répondu !
Étude des fonctions
Et l'équation de la tangente ?
Merci beaucoup !

Posté par
Glapion Moderateurre : Étude des fonctions 23-05-20 à 15:59

tu l'as trouvé l'équation de la tangente.

Posté par
Mathes1re : Étude des fonctions 23-05-20 à 16:06

Bonjour,
Merci beaucoup de m'avoir répondu !
J'ai tracé aussi L'équation de la tangente .
Les autres questions sont justes ?
Merci beaucoup

Posté par
Mathes1re : Étude des fonctions 23-05-20 à 22:57

Bonsoir,

Merci beaucoup


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