Niveau BTS

Etude fonction numérique

Posté par
Alexisn38 23-10-20 à 13:24

Bonjour, j'ai un dm à rendre pour la rentrée. Afin de m'assurer que tout soit correct, est-ce qu'il y aurait quelqu'un qui pourrait me valider ce que j'ai fait ?
Merci d'avance à toutes les personnes qui prendront le temps de me relire.
Cordialement
Alexis

PS: j'ai écrit seulement les résultats que j'ai trouvé donc si erreur, je mettrai les formules qui m'ont permis de les trouver.

Une ouverture BC de 1,2m est pratiquer sur un mur vertical AC à 1m au-dessus du niveau du sol qui est horizontal. un point M est situé à la distance x du pied du mur. On appelle a l'angle sous lequel on voit l'ouverture depuis ce point M.

Partie 1
a) Exprimer tan AMB en fonction de x

$tan AMB = \frac{BA}{x} = \frac{1}{x}$

b) Exprimer tan AMC en fonction de x

$tan AMC = \frac{CA}{x} = \frac{1,2+1}{x} = \frac{2,2}{x}$

c) En déduire la valeur de tan a en fonction de x en admettant que: $tan ( \alpha -\beta ) = \frac{tan\alpha - tan\beta }{1 + tan\alpha*tan\beta}$

on sais que :

$tan\alpha = \frac {2,2}{x}$

$tan\beta = \frac {1}{x}$

on a donc : $tan ( \alpha -\beta ) = \frac{1,2x }{x^2 + 2,2}$

Partie 2
On considère la fonction f définie sur l'intervalle ]0;10[ par f(x)= $tan ( \alpha -\beta ) = \frac{1,2x }{x^2 + 2,2}$

a) étudier les variations de cette fonction
on cherche f'(x).
on obtient : $\frac{-1,2x^2 + 2,64}{(x^2+ 2,2)^2}$

on cherche pour f'(x)= 0

on obtient : $\sqrt{\frac{2,64}{2,2}}$

On remarque que de 0 à $\sqrt{\frac{2,64}{2,2}}$ la fonction est croissante et de $\sqrt{\frac{2,64}{2,2}}$ à 10 elle est décroissante.

b) En remarquant que f(x)= a. En déduire la valeur de x pour laquelle l'angle a est maximal. Calculer a (à 1° près par défaut).

On remarque à la calculatrice, le maximum de la fonction est y= 0,40 pour x=1,43

Etude fonction numérique

Posté par re : Etude fonction numérique 23-10-20 à 14:19

bonjour

erreur sur la racine de la dérivée.

b) En remarquant que f(x)= a ---- tu veux dire f(x) = tan(a), non ?

le maximum de la fonction est y=(environ) 0,40 pour x=(environ)1,43 --- je trouve comme toi
tu en déduis quoi pour la valeur de l'angle a ?

ps : ce qui me dérange un peu sur cet énoncé, c'est l'ensemble de définition de f...
si x=pi/2, par exemple, f(x) existe, mais pas tan(a)
_{je suis la seule à trouver ça bizarre, ou bien je coupe les cheveux en 4 ?}

Posté par re : Etude fonction numérique 23-10-20 à 14:33

concernant Df, je viens de comprendre mon erreur, pff

Posté par re : Etude fonction numérique 23-10-20 à 14:36

Bonjour,

Carita, tu as fait la bonne remarque sur la réponse à la question b), par contre je ne vois pas ce que tu veux dire par "si x=pi/2, par exemple, f(x) existe, mais pas tan(a) " ???

Posté par re : Etude fonction numérique 23-10-20 à 14:41

bonjour GBZM
oui, j'ai fait confusion entre a et x, pendant qq minutes... j'ai fini par reconnecter les neurones
mais merci tout de même de ta réponse !

Posté par re : Etude fonction numérique 23-10-20 à 17:09

carita @ 23-10-2020 à 14:19

bonjour

erreur sur la racine de la dérivée.

b) En remarquant que f(x)= a ---- tu veux dire f(x) = tan(a), non ?

le maximum de la fonction est y=(environ) 0,40 pour x=(environ)1,43 --- je trouve comme toi
tu en déduis quoi pour la valeur de l'angle a ?

ps : ce qui me dérange un peu sur cet énoncé, c'est l'ensemble de définition de f...
si x=pi/2, par exemple, f(x) existe, mais pas tan(a)
_{je suis la seule à trouver ça bizarre, ou bien je coupe les cheveux en 4 ?}

Bonjour et merci pour votre réponse.

b) En remarquant que f(x)= a ---- tu veux dire f(x) = tan(a), non ?
effectivement, il s'agit d'une erreur de ma part. Il fallait bien lire, f(x) = tan(a)

$f(x)= \frac{1,2x}{x²+2,2}$ = 0,40 pour x=1,43 donc tan(a)= 0,40 donc a=arctan(0,40)= 0,38
Est-ce correct ?

Merci d'avance
Alexis

Posté par re : Etude fonction numérique 23-10-20 à 17:44

a 0.38 unité ...?

attention, sur tous les résultats que tu indiques, ce sont des valeurs approchées...

et tu as retrouvé ton erreur sur la racine de la dérivée ?

Posté par re : Etude fonction numérique 23-10-20 à 18:05

note : un petit rappel qui fait gagner du temps : $(\lambda u) ' = \lambda u '$

on peut l'appliquer ici :

$f(x) = \dfrac{1.2x}{x^2 + 2.2} = 1.2 \times \dfrac{x}{x^2 + 2.2}$

d'où la dérivée "simplifiée" $f '(x) = 1.2 \times \left( \dfrac{x^2 + 2.2- x(2x)}{(x^2 + 2.2)^2} \right) = 1.2 \times \dfrac{2.2-x^2}{(x^2 + 2.2)^2}$

f '(x) = 0 ...?