Bonjour, je me retrouve avec un DM sur les limites alors que nous les avons a peine survoler avant les vacances. Je vous expose le probleme.




Partie A
Pour étudier la limite de f(x)=(x²+5x)-x définie sur ]- ; -5][0;+[ en +, l'élève 1 expose sa méthode :

lim x+  x²+5x = lim x+ x² (1+5/x)
= lim x+ x² = +

Donc lim x+ (x²+5x) = lim x+ x² = lim x+ x = +

Par suite lim x+ (x²+5x)-x = lim x+ (x-x) = 0



L'élève B n'est pas d'accord ; il expose sa méthode :

Certes lim x+ (x²+5x) = +, mais (x²+5x) est bien supérieur à x lorsque x est positif et, si l'on compare les carrés, leur différence (x²+5x)-x² est égale a 5x, qui a pour limite + en +
Donc lim x+ (x²+5x)-x = +



L'élève C reste perplexe devant ces deux résultats contradictoires, ne sachant à quels arguments se ranger; d'antant que sa calculatrice lui laisse entrevoir un troisième résulat pour x [0;+[



Démêler le vrai du faux dans chacune des méthodes exposées et déterminer la limite en + de (x²+5x)-x
On pourra utiliser la quantité conjuguée




Partie B
Etude du comportement de f(x)= (x²+5x)-x en -.


1) Démontrer par un théoreme de comparaison que lim x f(x) = +

2) Démontrer que f(x)-(-2x-5/2) a pour limite 0 en -.
   Quelle est la conséquence graphique de ce résultat ?