Bonjour,
Est ce que tu sais comment calculer le nombre de diviseurs d'en nombre entier..

oui mais cela est lent

Bonsoir,

Bonjour,

Vham tu ergotes; sans parler de la question de l' énoncé, l' exemple ne laisse aucune équivoque.

j'ai oublié un truc :Note: le nombre 4 est africain .En effet , à partir de 4  carrés  1×1 on peut former exactement un rectangle 2×2 et un autre 1×4 de la manière suivante  :

Ce qui confirme que ; je n' avais aucun doute...

En attendant son retour tu peux peut-être répondre à la question de Nofutur2 ...

oui je sais comment calculer le nombre de diviseurs

J'avoue humblement avoir simplement réussi à traduire les données du problèmes..

1. Si N est un carré
N=a₁^p₁x a₂^p₂..x a_n^p_n avec p_ipair
Dans ce cas N est africain si (Prod(p_i+1))+1 multiple de 4, soit Som (p_i)=4*k+2
Exemple : 144 est africain et 36 n'est pas africain.

2. Si N n'est pas un carré.
N=a₁^p₁ x a₂^p₂..x a_n^p_n x a_n+1^i₁ x a_n+2^i₂..x a_n+q^i_q avec p_j pair et i_j impair
Dans ce cas N est africain si (Prod(i_i+1)) multiple de 4,
donc
- soit q >=2
- soit q=1 et i₁=4*k+3
Donc en particulier les nombres premiers ne sont pas africains.

Ceci dit, trouver k n'est pas évident..car si je prends k=2017! +1 , je sais que de k à k+2017, il n'y aura pas de nombre premier.. mais qu'est ce qui empêche d'avoir un "mauvais " carré ou un nombre avec un seul exposant impair égal à 1 dans la décomposition en facteurs premiers...
Je pense même qu'on pourrait démontrer l'inverse ..

voici ce que j'ai fais à l'instant :

d'ou k est un entier naturel vérifiant la proposition
je ne sais pas si ce que j'ai fais est vrai ou faux
merci pour toute contribution

Merci pour ta réponse mr nofutur

j'ai compris comment procéder d'apres mr nofutur .Merci

Bonsoir,

Ça, j' en doute fort; je soupçonne ceci:

Finalement je doute de mon doute ...

Bonsoir,

L'énoncé m'avait paru évident, mais quand j'ai réalisé qu'il fallait k début d'une séquence de 2017 nombres consécutifs composés (pas de nombre premier) j'ai eu des doutes sur l'évidence de cet énoncé : En plus classe de première lycée ??
Une idée de la valeur de k ? Inaccessible certainement !

c'est un exercice de sélection d'olympiad Maroc

est-il nécessaire d'utiliser un théoreme hors niveau premier mr?

première*

c'est un probleme de combinatoire

Bonjour,
Il se peut que ce soit considéré comme un problème de combinatoire uniquement parce que des factorielles interviennent.
Cela fait un moment que je m'intéresse à ce topic. Je n'ai rien trouvé de beaucoup mieux que Nofutur2.
Avec ((2017)!)²+k , pas de "mauvais" carré. Est-ce une piste ?

beckman, on ne peut pas savoir s'il est nécessaire d'utiliser un théorème hors niveau première avant d'avoir trouvé quelque chose qui ressemble à une solution.

Je corrige :
Avec k = ((2017)!)²+1 , pas de "mauvais" carré ni de nombre premier de k à k+2017 .

de k+1 à k+2017.

Ton problème me perturbe ..Je pense qu'il n'y a pas de solution bien que je sache pas le démontrer avec certitude..
On a vu que les "non africains" sont constitués de :
- les carrés dont la somme des exposants de la décomposition est multiple de 4
- les non carrés qui ont un exposant impair de la forme 4k+1..

Si on ne tient pas compte des carrés dont l'espacement augmente avec leur valeur, et si on ne considère que les non carrés avec un exposant impair égal à 1.., les non africains sont de la forme N=C*p avec C un carré et p un nombre premier..
On doit donc trouver deux couples (C, p) tels que C₁p₁- C₂p₂ > 2017.
Si je note q=C₁/C₂, je pense que (et c'est là que ma démo n'est rigoureuse) que comme l'ensemble des nombres premiers est infini et non majoré, il sera toujours possible de trouver q'=p₂/p₁ suffisamment proche de q pour que q-q'<2017/(C₂*p₁)...
Je sais .. Il y a beaucoup de feeling la dedans

voici ce que j'ai fais mais je ne suis pas certain de sa validité:
Soit
des nombres premiers distincts deux à deux, et soit k un entier tels que :

l'existence de k est assurée par le théorème des restes chinois . Soit 1 ≤ i ≤ 2017 pour un certain
on a :
k+i=
alors k +i est africain pour tout 1 ≤ i ≤ 2017, d'où le résultat.

Bonsoir beckman,
Merci de t'être réinscrit pour donner ta solution.
Pour moi , le théorème des restes chinois, c'est plus de l'arithmétique que de la combinatoire
Je n'ai pas compris pourquoi (p_i)³ (1+p_ia_i) est africain.
C'est sans doute c(k+i) = 2d(1+p_ia_i) qui le justifie ; mais je ne vois pas quel est le sens de cette égalité. Que représentent c et d ?

Bonjour Sylvieg,
Si je peux me permettre de répondre à la place de beckman dont je trouve la solution assez élégante..
Si j'excepte de cas des carrés (bons ou mauvais), un nombre est africain si le nombre de ses diviseurs est multiple de 4..
Or avec N= p_i³*K ... c'est bon puisque le nombre des diviseurs est le produits des (exposants +1)..
Je me suis dit .. Pourquoi ne pas prendre tout simplement k=-i (p_i³)..
Parce que si on a k+i=K*p_i³, il faut éviter que K soit un multiple de p_i et qu'on retombe sur un exposant pair pour p_i ..
Alors qu'en prenant k=-i *p_i³ (p_i⁴), on obtient  k+i=p_i³*K avec K=1+ K'*p_i donc pas K n'est pas multiple de p_i...
Sauf erreur de ma part ... en tout cas je trouve çà génial d'avoir pensé aux restes chinois...

Je pense avoir compris pourquoi (p_i)³ (1+p_ia_i) est africain.
Il est divisible par (p_i)³ mais pas par (p_i)⁴ .
L'exposant de p_i dans la décomposition en facteurs premiers de (p_i)³ (1+p_ia_i) est 3 .
Le nombre de diviseur de (p_i)³ (1+p_ia_i) est donc un multiple de 3+1 .

Cette démonstration de l'existence de k me semble correcte, mais pas vraiment du niveau d'une classe de première...

Et c(k+i) = 2d(1+p_ia_i) reste pour moi un mystère.

Nos réponses se sont croisées...

Merci Nofutur2
Ce qui m'a trompée , c'est cette partie de ton message :

Oui, je me suis trompée en voulant traduire i₁=4*k+3

merci pour votre contribution au topic