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exercice arithmétie

Posté par
oceeane
19-03-13 à 13:09

Bonjour tout le monde,

Je réfléchis depuis pas mal de temps à mon exercice, je ne sais pas comment débuter, je ne comprends pas...

Les mesures des trois côtés d'un triangle rectangle de périmètre 24cm sont en progression arithmétique. Déterminer ces trois mesures.

Pouvez-vous m'aider s'il vous plaît ?

Merci à tous d'avance

Bonne journée, Océane

Posté par
sbarre
re : exercice arithmétie 19-03-13 à 13:19

bonjour, si tu appelles a b et les longueurs en cm des cotes de ton triangle, telles que a<b<c  tu as  a + b + c = 24 et b-a = c-b

Posté par
sbarre
re : exercice arithmétie 19-03-13 à 13:20

si tu appelles a, b et c les longueurs ....

Posté par
oceeane
re : exercice arithmétie 19-03-13 à 14:34

tout d'abord merci de votre réponse !!
Mais une fois que l'on a b-a = c-b ( d'ailleurs pourquoi b-a = c-b ? ) je ne vois pas comment ça peut nous aider pour la suite...

Posté par
mathafou Moderateur
re : exercice arithmétie 19-03-13 à 14:51

Bonjour,

Mais surtout : triangle rectangle...

plus simple :
comme il s'agit d'une progression arithmétique, on appelle a-r, a, et a+r les trois côtés, a+r étant l'hypothénuse donc

sans même tenir compte du périmètre, Pythagore nous donne une relation entre a et r de sorte que les côtés ne dépendent plus que d'un seul et unique paramètre r.
en faisant intervenir alors le périmètre on obtient une simple équation en r et c'est fini.

Posté par
oceeane
re : exercice arithmétie 19-03-13 à 14:55

Merci de votre réponse Mathafou

Mais je ne comprends pas ce système de a, a-r et a+r ... Excusez-moi pour toutes ces questions mais je ne comprends pas trop

Posté par
mathafou Moderateur
re : exercice arithmétie 19-03-13 à 15:02

trois nombres sont en progression arithmétique si on passe de l'un au suivant en ajoutant une constante : la raison r, par définition.

donc a = premier nombre
a + r = 2ème nombre
a + 2r = 3ème nombre
etc etc ... (ici on n'a besoin que de trois termes de la progression arithmétique)

il peut être avantageux (car cela induira des simplifications dans les calculs) de choisir de décaler la suite d'un cran en prenant comme base le nombre du milieu :
(a-r) 1er nombre
(a-r) + r = a, 2ème nombre
(a-r) + 2r = a + r, 3ème nombre

une simplification visible de suite est que le périmètre est alors
(a-r) + a + (a+r) = 3a !! (vu, la simplification ?)

Posté par
oceeane
re : exercice arithmétie 19-03-13 à 15:07

Ah merci beaucoup pour cette belle explication !!
Et comment sait-on que c'est plus avantageux de prendre comme base le milieu ?

Posté par
mathafou Moderateur
re : exercice arithmétie 19-03-13 à 15:18

l'habitude : c'est souvent le cas, quand on n'a que quelques nombres d'une progression, il peut être intéressant de "centrer" le problème au milieu.
parce que des termes en +r et en -r vont peut être s'anuller (la preuve )
ceci dit les calculs marchent aussi si on prend a, a+r et a+2r, mais risquent seulement d'être "plus compliqués".

Posté par
oceeane
re : exercice arithmétie 19-03-13 à 15:22

Ah oui d'accord je vois, merci beaucoup en tout cas
et donc quand je suis arrivée au périmètre 3a pour savoir les trois mesures je fais comment ? Car on sait que le périmètre = 24 mais je ne peux pas faire 3a = 24 puisque les longueurs ne sont pas toutes de même dimension

Posté par
mathafou Moderateur
re : exercice arithmétie 19-03-13 à 15:27

le problème c'est surtout de trouver r (avec Pythagore) ...

sinon, si bien sûr, tu as déja 3a = 24 donc a = 8 et tu as un des 3 côtés ! (et trouver r te donnera alors les deux autres : 8 - r et 8 + r)

Posté par
oceeane
re : exercice arithmétie 19-03-13 à 18:57

En fait je ne comprends pas ce que représente r sur mon triangle... Donc je ne vois pas la relation que nous pouvons utiliser entre a et r ..

Je m'excuse du dérangement mais j'aime bien comprendre

Posté par
mathafou Moderateur
re : exercice arithmétie 19-03-13 à 19:16

??????

Citation :
on appelle a-r, a, et a+r les trois [b]côtés[/u], a+r étant l'hypothénuse
r et a n'ont rien à faire individuellement dans ton triangle !!!
simplement les côtés de ton triangle sont
le nombre a-r = mesure du 1er côté
le nombre a = mesure du second côté
le nombre a+r = mesure du troisième côté (qui est l'hypoténuse)

et Pythagore dit que la somme des carrés des mesures des côtés est égale au carré de la mesure de l'hypoténuse
ce qui s'écrit bêtement (a-r)² + (a)² = (a+r)²

ce qui est bien une relation entre a et r non ??
c'est tout...

tu n'as plus qu'à développer simplifier etc (sans plus jeter le moindre coup d'oeil à quelque figure que ce soit dans le vain espoir d'y voir apparaitre "r" nu)

et tu connais même la valeur de a=8 là dedans, ça devrait te permettre en quelques secondes de calculs d'obtenir la valeur de r !
et donc la mesure de chacun des trois côtés (voir ci dessus les expressions de ces trois mesures)
c'est réellement aussi simple que ça.

Posté par
oceeane
re : exercice arithmétie 19-03-13 à 19:51

Je vous remercie énormément de votre aide !!

J'ai donc trouvé r = 2 le coté a-r donc 8-2 = 6 mesure 6 cm et le côte a+r donc 8+2 = 10 mesure 10 cm. Donc comme nous avons un côté qui mesure 8 un autre 6 et l'autre 10 le tour fait bien 24 !!

Merci encore

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