Bonjour,

Tu peux essayer une démonstration par réthorique. Tu démontres tout d'abord que la relation est vérifiée pour n = 5 et tu démontres par la relation au rang n+1.

Bonjour Manoa et Guillaume.
Guillaume : on dit récurrence. Cette méthode ne marche d'ailleurs pas.
Si n est une puissance de 2 : soit n = 2^p
3^(2^p+1)-1 = (3^(2^p))²-1²
= (3^(2^p+1)((3^(2^p-1)
= (3ⁿ-1)(3ⁿ+1)
Or si 3ⁿ-1 est divisible par 4, 3n+1

envoi prématuré par erreur
par ailleurs ma ligne : = (3^(2^p+1)((3^(2^p-1)
doit être changée en = (3^(2^p)+1)(3^(2^p)-1)
Or si 3ⁿ-1 est divisible par 4, 3ⁿ+1 n'est divisible que par 2, pas par 4.
On a 3^(2¹)-1 divisible par 2³.
3^(2^p)-1 est divisible par 2^p+2, mais pas par 2^p+3

3ⁿ-1 = 2*(3^n-1+3^n-2+...+3²+3+1)
Il y a n termes entre parenthèses.
Soit 2^p la plus grande puissance de 2 par laquelle est divisible n.
On peut regrouper les n termes par groupe de 2^p.
Le nombre de groupes est impair (n/2^p).
La somme de chaque groupe est une puissance de 3 fois (3^(2^{p[/sup)]-1)/2.
Chaque groupe est divisible par 2[sup]p+1} mais pas par 2^p+2. Il en est de même de la somme de tous les groupes.
3ⁿ-1 est divisible par 2^p+2 mais pas par 2^p+3.
Or si n 5, la solution p de 2^p = n est inférieure à n-2. Donc p+2 < n.
3ⁿ-1 n'étant pas divisible par 2^a pour tout a supérieur à p+2, 3ⁿ-1 n'est pas divisible par 2_n.

bonjour

il suffir de donner un contre exemple.

pour n=5  tu as 3^n-1=3^5-1=(3²)3²3-1=81*3-1=243-1=242
242=2*11²
et 2^5=32
donc 2^5 ne divise pas 3^5-1

Bonjour Watik.
Il ne suffit pas de donner un contre-exemple.
Il faut démontrer que toutes les valeurs de n supérieures à 4 amènent à des contre-exemples.

Il n'est PAS écrit  

Montrer que POUR TOUT  n dans N  2^n ne divise pas 3^n - 1

Il est écrit soit un n 5  montrer que ....

donc pour n= 5 ou n= 10 ou... ( un seul exemple suffit ) comme l'écrit Watik un contre exemple suffit !!!!

Bonjour Nevada.
On ne donne pas la valeur de n.
On peut donc s'attendre que n ait n'importe quelle valeur entière supérieure à 4.
C'est pourquoi il faut faire la démonstration pour tout n supérieur à 4.

bonjour,
il me semble que l'on ne peut pas conclure en étudiant simplement le cas n=5
en effet
pour n=3 ne divise pas
mais
pour n=4divise
sauf étourderie de ma part

>>nevada
je n'interprète pas du tout la question comme toi
si ton interprétation est la bonne je ne vois guère l'intérêt de la question

Tu as raison veleda sachons rire au nez de la malchance , je ne devais pas être réveillé....

Hello,
j'ai cherché ce problème...et je me suis demandé si on ne pouvait pas utiliser d'autres bases de numération que la base 10.
Par exemple 2ⁿ s'écrit 1000...000 ( n zéros ). Ainsi 3ⁿ-1 serait divisible par 2ⁿ si son écriture en base deux se termine par n zéros.
Mais il y a un problème pour écrire 3ⁿ-1 en base deux par contre l'écriture en base trois est immédiate d'après les calculs de plumemeteore, c'est 2222....2222 ( n deux ).
Maintenant le problème est de passer de la base trois à la base deux. Si on applique l'algorithme de la division on peut montrer facilement que si n est impair alors l'écriture de 3ⁿ-1 se termine par ...10, par conséquent il n'y a que pour le nombre impair n=1 que 3ⁿ-1 est divisible par 2ⁿ.
Lorsque n est pair...c'est plus délicat.

voici une idée qui peut etre exploitée:
3^n=(2+1)^n
   =2^n+1+somme(p=1à(n-1)C(np)2^p
donc
3^n-1=somme(p=1à(n-1)C(np)2^p  (2^n)  ; modulo 2^n

bonjour,
>>Watik
j'ai déjà cherché dans cette voie mais il faut montrer que
n'est pas divisible par 2ⁿet je n'ai pas encore trouvé
d'autre part je ne sais pas si la formule du binôme est connue en 1^ière
>>Mister Jack
si on travaille en base 2  ,3 s'écrit 11 donc"il suffit"d'étudier les n derniers chiffres de l'écriture de 11ⁿ
on peut peut être montrer que si 11ⁿ-1 se termine par moins de n zéros alors 11ⁿ⁺¹-1se termine par moins de n+1 zéros comme c'est vrai pour n=5..

Hello.
>>veleda
en fait 3ⁿ-1 se termine toujours par 10 si n est impair donc pour n impair et 5 on est sûr que 2ⁿ ne divise pas
3ⁿ-1. Pour la preuve il suffit de faire le changement de base de 2222222...22 ( 3ⁿ-1 écrit en base trois ) en base deux, en faisant les divisions successives par 2.
Maintenant si n est pair c'est plus délicat avec cette méthode de division. Peut-être faut-il faire avec n=2p :

3^2p-1=(3^p-1)(3^p+1)

1) si p est impair alors on sait que 2^p ne divise pas 3^p-1, il faut donc que 2^2p divise 3^p+1...ce qui d'après plumemeteore est impossible dès que p>1.
2) si p est pair on recommence la factorisation et le même raisonnement.
En fait le cas le plus défavorable est le cas où n est une puissance de 2.

Mais bon je ne suis pas sûr d'avoir la bonne méthode.

Pour voir j'ai cherché sur le net l'écriture de 3ⁿ-1 en base deux en fonction de n. Mais cet exercice me parait bien difficile en première.

salut

j'ai une petite idée , je ne sais si ce sera la bonne autant la partager quand meme

supposons que 2^n divise 3^n-1  , alors il existe Q tel que  3^n-1=2^n.Q  

en terme de congruence on peut donc ecrire que  3^n-1 =0 [2^n] ou encor 3^n=1[2^n]

ce qui peut s'ecrire encor  3^n=1^n[2^n]   cela permet d'ecrire finalement que 3=1[2^n]  

et finalement  2=0[2^n]. si n=5  on ne peut avoir  2=0[2^5]   à moins de faire une reccurence sur ce dernier

resultat , on vois vite que pour tout n >=5  on ne peut pas avoir 2=0[2^n]  et que donc 2^n ne divise pas 3^n-1


à verifier

Hello flight
il me semble qu'il n'y pas un théorème qui permet d'écrire ça :

oui c'est inexact
est congru à [2⁴] mais 3 n'est pas congru à 1 [2⁴ ]                                                                1

Salut ,

Je suis vraiment navré de ne pas avoir répondu,j'étais un peu occupé à cause des préparations pour le BAC
Sinon merci d'avoir répondu, je vais m'y remettre et vous tenir au courant .

Désolé encore

si tu trouves une solution simple...je veux bien la voir