Exercice: Démontrer que si un nombre premier p divise a² alors p divise a.

Je voudrais savoir si mon raisonnement est logique.
on suppose que p divise a².
alors p=1 ou p=a ou p=ka²(k un entier) p=a².
dans le premier cas (p=1),p divise a.
dans le deuxième cas (p=a), p divise.
dans le troisième cas p=ka²,on demontre que ce cas est impossible par l'absurde.k divise p et a² divise et a divise donc p est divisible par k et a et a² donc p n'est pas premier.
dans le quatrième cas, si p=a²,p et a sont premiers(ak'p) entre eux alors p divise a (lemme de Gauss) ce qui crée une contradiction.