salut

oui : utiliser un tableur ...

bonjour,

déja :
réduire 2n modulo 6 (pourquoi ? Fermat et 2 et 7 premiers entre eux)
réduire 15 modulo 7

après ça dépend de ce qu'on veut en faire ...

PS : on peut même réduire 2n modulo 3, mais bon, c'est avec quelques essais au lieu de le faire sans même regarder.

un tableau de congruence (ou des résultats connus comme ceux utilisés par mathafou) de 2^n - 1  et 2^n + 1 puis de leur produit auquel on ajoute n [7]

..

Bonjour,
Une piste : En notant r_n le reste cherché, on a r_n+3 = r_n + 3 .

Modulo 7 évidemment...

c'est ce que je disais en parlant de réduire l'exposant modulo 3 ...

mais à force d'en discuter entre nous, Chamsi68 qui n'est pas réintervenu depuis sa demande initiale va finir par attendre tranquillement que entre nous on dise tout et qu'il n'aura plus qu'à recopier sans effort...

bonsoir à tous.
Est-ce bien niveau première ???

va savoir,
de toute façon on ne sait pas ce qu'on demande vraiment dans un énoncé qu'on n'a pas ...

il n'a surement pas réactualiser son niveau ...

très probablement un exercice de term spé math ...

j'ai répondu à sa question dès ma première réponse ... évidemment ce n'est pas faire des mathématiques ... mais en faisons-nous en terminale ?

bien sur justifier les résultats sera alors faire des mathématiques ... et c'est tout ce qui a été raconté par la suite...

Excusez moi Carpediem j'ai bien compris depuis la deuxième intervention de  Mathafou, mais je n'ai pas pu me connecter depuis 19 : 00 à certaines raisons.
Merci.

C'est que j'ai fais une disjonction de cas, mais ma méthode est très longue :




Donc si , alors ,
et si , alors ,
et si , alors ,

Puis dans chacun de ces cas, j'ai refais une disjonction de cas, je trouve les mêmes restes :

C'est pourquoi j'ai demandé au début s'il y avait une méthode simple pour le trouver.

je ne trouve pas ça.

par exemple, n = 3k+1
4ⁿ ≡ 4 [7]
15n ≡ n ≡ 3k+1 [7]

4ⁿ + 15n - 1 ≡ 4 + 3k + 1 - 1 ≡ 3k+4 [7] et pas 3k+3

n = 3k+2 est faux aussi.

quand aux 21 valeurs de n modulo 21 (3 fois 7) cela donne bien globalement tous les restes possibles modulo 7, certes.

mais à quoi ça va servir ?
qu'est ce qui est demandé exactement ?
(mon message de 19:51)

la périodicité des restes est de 21 et pas plus court.

comme un calcul direct le montre :

Merci carpediem, j'ai du me tromper quelque part.

mathafou, voici l'exercice en entier :
1) Quel est le reste de la division de par
2) Déterminer le reste de la division du nombre par
3) Déterminer les restes de la division euclidienne des nombres par
4) Déterminer les restes de la division euclidienne de par
5) Déterminer les restes de la division euclidienne des nombres par
6) Déterminer les restes de la division euclidienne de par
7) Déterminer, selon les valeurs de , le reste de la division du nombre par
8) Montrer que si appartenant à n'est pas multiple de alors :

Les questions ne sont pas enchainées .

Bonjour

Pour compléter le tableau ci-avant, en utilisant la remarque :

Bonsoir,
La question 3) peut être utilisée pour la question 5). En effet 2²ⁿ = 4ⁿ.

Pour les erreurs dans le message de 00h48, elles viennent sans doute du remplacement de n par 3k au lieu de 3k+1 ou 3k+2 .

Je suis complétement d'accord avec le tableau de mathafou

OK, donc la réponse à la question est pour la 5 :
tous les restes sont possibles, c'est à dire 0 à 6 point final.
(ce qui n'est pas forcément le cas pour les autres pour lesquelles certains restes sont impossibles)

et la preuve en est :
une partie théorique pour la périodicité des exposant = 3
et donc le fait que la périodicité des restes modulo 7 est le PPCM de 3 et de 7 c'est à dire 21
c'est tout ce que la théorie peut faire ou pas beaucoup plus

et pour avoir ces restes effectifs eh bien c'est le tableau incontournable des 21 restes pour n modulo 21
on peut faire un croisement avec un tableau à deux dimensions : restes par 3 et restes par 7

             n [3] 0  1  2
              4^n  1  4  2
n [7] 15n-1
0      6           0  3  1
1      0           1  4  2
2      1           2  5  3
3      2            ...
4      3
5      4
6      5 
7      6

Bonjour vham
Je n'avais pas vu ton message.
Si on veut faire un tableau, on peut présenter ainsi les restes:
0, 4, 3,
3, 0, 6,
6, 3, 2,
2, 6, 5,
5, 2, 1,
1, 5, 4,
4, 1, 0.
On ajoute 3 modulo 7 pour passer d'un reste au reste qui est en dessous.
Une fois la première colonne écrite, les deux autres colonnes peuvent s'en déduire en grande partie.

ma table est encore plus facile à "calculer" puisque ce sont en colonne les nombres 0 à 6 cycliquement

on calcule donc la première ligne
et ensuite on descend en ajoutant 1 modulo 7 pour avoir le nombre en dessous

(vu qu'il n'y a aucun usage de cette table autre que de savoir les nombres qui sont dedans ou pas, savoir dans quel ordre on lit les valeurs de n modulo 21 est inutile)

D'accord mathafou,
Ton tableau est plus facile à remplir.
La lecture "en diagonales brisées" m'avait rebutée et je n'avais pas approfondi.
Il est exploitable dans le cadre que tu précises.
Quant à la dernière ligne, elle m'avait dès le départ intriguée car superflue à priori.
Je viens d'en voir l'utilité après avoir compris comment faire cette lecture bizarroïde

Une remarque pour les doublons dans la suite des restes 0, 4, 3, 3, 0, 6, 6, 3, 2, 2, 6, 5, 5, 2, 1, 1, 5, 4, 4, 1, 0 :
Si n 2 [3] alors 4ⁿ 2 [7] et 4ⁿ⁺¹ 1 [7] . D'où 4ⁿ⁺¹ +(n+1) 4ⁿ + n [7] .