Bonsoir
On montre qu'une fonction est injective de la même façon, puisqu'une fonction est une application, du moins à ton niveau il n'y a aucune différence
En revanche, c'est la surjectivité qui assure l'unique solution de f(x)=3. Mais ce n'est pas préférable de l'utiliser ici, le corollaire du TVI suffit (en fait, il montre que la fonction est surjective, donc..)

pour la 2b), pareil, corollaire du tvi, normalement au lycée on ne parle pas de surjectivité etc

Pour la 3)b) c'est une composition de fonctions monotones, pas besoin d'aller plus loin

Oui j'ai pensé au théorème des valeurs intermédiaires, mais on n'a pas encore étudié la continuité d'une fonction ni le théorème.

Mais n'est-elle pas une application injective celle que chaque x appartenant à I admet au plus une solution,  pour une application  surjective, c'est au moins une solution?

Si f est une application d'un espace de départ D dans un espace d'arrivée A

On dit qu'elle est injective si dès qu'on a deux éléments distincts de A, leurs images par f seront distinctes. En gros elle ne crée pas de doublon
On dit aussi que tout d de D a au maximum un seul antécédent, mais c'est généralement moins pratique à vérifier

On dit qu'elle est surjective si elle parcourt tout l'espace d'arrivée, en gros f(A)=D, c'est à dire que tout d de D a au moins un antécédent

D'accord, merci pour l'explication , mais que faire avec le  corollaire du tvi? Je dois résoudre l'exercice en se basant du cours?

Si je te dis corollaire du TVI, tu dois vérifier que ta fonction vérifie bien ses hypothèse et ensuite tu tires les conclusions de ce corollaire

D'ailleurs dans mon premier message je me suis trompé, il faut que la fonction soit bijective (injective et surjective) pour avoir l'unicité de la solution de f(x)=3
Mais encore une fois, le corollaire du tvi assure qu'elle est bijective

Vous n'avez pas compris ma question, j'ai dit qu'on n'a pas encore étudié ce théorème ni la continuité, donc je ne peux pas résoudre l'exercice en l'utilisant. Ne y a-t-il pas une autre méthode? En se servant par exemple des variations?

En utilisant le fait que f est croissante, et que ses limites sont -infini et +infini, ça suffit à le dire, mais ça revient à utiliser le TVI... Sinon, en utilisant les variations, mais encore une fois, c'est le TVI

Voilà, sinon, ce que je propose : supposer qu'il existe une solution a telle que f(a)=3, et montrer qu'aucune autre solution ne peut exister après a et avant a, parce que f est croissante

Merci beaucoup mais pour la question 1/c , c'est déjà fini, maintenant je parle de la question 2/b

utiliser le fait que  f(x)=g(x)  <=>  f(x)-g(x)=0  et on résout de la même façon

je me suis mal exprimé, je voulais dire traiter la fonction h(x)=f(x)-g(x) de la même façon que tu as fait pour f, étude de variation etc montrer qu'elle est croissante

Pour la question 1)c), tu as fait comme j'ai dit ci-dessus ? ou tu as fait autrement ?

J'ai montré  que (x;y) : f(x)=f (y) x=y , d'où f (x)=3 admet au plus une solution.

(x;y)²

Je suis bien curieux, comment as-tu montré que f(x)=f(y) => x=y ?

f (x)=f (y) x³+x²+x=y³+y²+yx³-y³+x²-y²+x-y=0(x-y)(x²+yx+y²)+(x+y)(x-y)+(x-y)=0(x-y)(x²+xy+y²+x+y+1)=0 x-y=0 ou (x²+xy+y²+x+y+1)=0 or (x²+xy+y²+x+y+1)>0 (comme on a montré dans la question 1/b ) d'où: x-y=0x=y

À corriger : c'est x²+x (1+y)+y²+y+1 non pas x³, je m'excuse

C'est dans la  consigne.