Bonjour, en révisant pour le concours ESA, je suis tombé sur les annales de 2018. Je ne sais pas comment m'y prendre pour cet exercice… Le concours est en fin de semaine vous êtes ma solution la plus rapide pour m'aider à comprendre au plus vite !

Voila l'exercice:
On veut dépister une maladie m dont la fréquence (ou prévalence) dans la population P est notée p avec 0 < p < 1.
On met en place un test diagnostique qui est indépendant de la valeur de p.
On prélève au hasard dans la population P un individu ayant été soumis au test diagnostique.
On définit les évènements suivants :
T : «le test est positif» et M : «l'individu est malade».
Pour ce test diagnostique, le fabricant a indiqué :
• la probabilité PM(T) qu'un individu ait un test positif sachant qu'il est malade, est appelée sensibilité du test et est notée Se.
• La probabilité PM(T) (comprenez ici P de T barre sachant M barre)qu'un individu ait un test négatif sachant qu'il n'est pas malade, est appelée spécificité du test et est notée Sp.

1. Illustrer la situation par un arbre pondéré en complétant toutes les branches à l'aide de p, Se, Sp.

2. a. Exprimer P(M ∩T), P de M barre inter T, P de M inter T barre, P de M barre inter T barre, à l'aide de p, Se et Sp. *
b. Montrer que la probabilité que le test délivre une juste conclusion est : p(Se −Sp)+Sp

3. On appelle :
• Valeur prédictive positive du test (VPP),la probabilité PT(M) (P de M sachant T) d'être malade, sachant que le test est positif.
• Valeur prédictive négative du test (VPN), la probabilité P de M barre sachant T barre d'être non malade, sachant que le test est négatif.
a. Calculer P(7) à l'aide de p, Se et Sp
b. Exprimer VPP et VPN en fonction de p, Se et Sp.
c. Le test est considéré comme intéressant si VPP> p.
Montrer alors que : Se +Sp > 1.

Voila la première partie j'espère que tout sera compréhensible car j'ai beaucoup de difficultés a utiliser LaTex

Merci d'avance.