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exercice concours général

Posté par
leawz
03-04-21 à 16:25

bonjour, j'essaie de faire les exercice du concours général de cette année, mais seule c'est assez difficle.. pourriez vous m'aider ?

exercice:
Soit n un entier naturel non nul. Dans un sac, on place 2n +1 boules indiscernables au toucher et numérotées 0, 1, 2,..., 2n. On vide alors progressivement le sac jusqu'à n'y laisser qu'une seule boule, selon le
protocole suivant :
— on tire trois boules simultanément ;
— si les trois boules tirées ont pour numéros a, b et c, avec a < b < c, on élimine les boules de numéros
a et c et on replace dans le sac la boule de numéro b ;
— on recommence les opérations précédentes.
Au bout de n tirages, il ne reste plus qu'une seule boule, et on note Dn son numéro. Pour tout entier k, on
note P[Dn = k] la probabilité que la dernière boule restant dans le sac soit celle de numéro k.

I - Étude des petits cas
1) Déterminer la loi de la variable aléatoire D1.
2) Déterminer la loi de la variable aléatoire D2.

II - Valeurs extrêmes et symétrie
3) Déterminer la probabilité P[Dn = 0].
4) Déterminer la probabilité P[Dn = 1] en fonction de n.
5) Soit i un entier tel que 0 i 2n. Pourquoi a-t-on P[Dn = i] = P[Dn = 2n −i] ?
6) Calculer l'espérance de la variable aléatoire Dn en fonction de n.

III - Comportement limite
Dans cette partie, on souhaite étudier la loi de Dn lorsque n tend vers +∞. Afin de faciliter cette étude, on
démontre tout d'abord un résultat préliminaire.
7) On considère la suite (un)n0 définie par u0 = 1 et par
un = 1/2 × 3/4 × 5/6 ×···× (2n −1)/2n
pour tout n 1. Démontrer que Un1/3n +1 pour tout n 0.
Il est maintenant temps d'étudier la loi de Dn elle-même.
8) Déterminer, pour tout entier j tel que 0 j 2n, la probabilité pj que la boule de numéro j soit éliminée lors de la première sélection.
9) Démontrer que, si n 3, alors pj 1/2n
pour tout entier j tel que 0 j 2n.
10) On note Mn la plus grande des probabilités P[Dn = j] lorsque 0 j 2n. Démontrer que Mn tend vers 0 lorsque n tend vers +∞.

merci beaucoup d'avance

Posté par
Zormuche
re : exercice concours général 03-04-21 à 17:04

Bonjour

Commençons par l'étude des petits cas.
Pour n=1, quelles boules y a-t-il dans le sac ? Et que se passe-t-il si on suit le protocole décrit ?

Posté par
leawz
re : exercice concours général 03-04-21 à 17:10

il y a 2*1+1 soit 3 boules. elles sont donc numérotées 0,1,2. on tire ces trois boules et en suivant le protocole on reposera la boule numérotée 1 dans le sac.  la probablité qu'elle reste dans le sac est donc 1 puisqu'il n'y pas d'autres possibilité

Posté par
leawz
re : exercice concours général 03-04-21 à 17:15

pour la 2), avec n=2, on a 5 boules qui sont numérotées 0,1,2,3,4
après pour contre je ne sais pas trop comment faire

Posté par
cerveaulogik
re : exercice concours général 03-04-21 à 20:16

Quelles sont les possibilités pour la dernière boule ?
Est ce possible pour le 0 et le 4 ?
Dans quels cas est il possible d'obtenir 1 ou 3 ? Combien de possibilités cela fait ?
Combien y a-t-il de possibilités au total par ailleurs ?

Posté par
Zormuche
re : exercice concours général 03-04-21 à 20:18

tu peux remarquer que dans tous les cas, avec les boules de 1 à 4, après la première étape tu te retrouveras avec 3 boules. Et tu sais déjà ce qui se passe avec 3 boules, tu l'as étudié juste avant
Donc l'étude se simplifie beaucoup

Maintenant, je ne peux que te conseiller les indices donnés par cerveaulogik juste au-dessus : au cas par cas

Posté par
leawz
re : exercice concours général 03-04-21 à 20:52

La dernière boule peut être la 1,2 ou 3. 0 et 4 n'étant pas possible car des valeurs “extrêmes” et lors d'un tirage on garde celle du milieu
Cas possible pour 1: au premier tirage 2-3-4 et donc le deuxième on obtient que celle restante est 1
Pour 3: 0-1-2 au premier tirage
Pour 2: 0-1-3/0-1-4/1-3-4/0-3-4/0-2-4 au premier tirage
(Je ne vois pas d'autre possibilité, sauf erreur de ma part)
Il y aurait ici 7 possibilités ?

Pour le nombre de possibilités totales, on veut tirer 3 boules parmi 5 au premier tirage
et 3 parmi 5=10 ?  

Posté par
ty59847
re : exercice concours général 03-04-21 à 21:02

On calcule des probabilités.... Il y a 5 résultats possibles ; on doit donc calculer 5 probabilités. Et on pourra controler à la fin que la somme des 5 nombres trouvés donne bien 1.
On peut même calculer seulement 4 probabilités sur les 5 demandées, et dire que la 5ème, c'est le complément, pour avoir une somme de 1.

Ici : 0 + 1/10 + 7/10 + 1/10 + 0 ... zut, ça ne donne pas 1.

Posté par
leawz
re : exercice concours général 04-04-21 à 13:55

oui.. bon j'ai recalculer et je trouve
pour 0 et 4, la probabilité est de 0,
pour 1 et 3, la probabilité est de 1/10 (2-3-4 pour 1 et 0-1-2 pour 3 au premier tirage)
pour 2 la proba est 8/10 et on a comme possibilités: 0-1-3/0-1-4/1-3-4/0-3-4/0-2-4/1-2-3/1-2-4/0-2-3
et la somme donne bien 1 donc voila pour la question 2

Posté par
leawz
re : exercice concours général 04-04-21 à 13:56

pour la 3 P[Dn = 0]=0



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