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Exercice de 1ere S - Fonction pôlynome.

Posté par
Likedream 25-09-15 à 19:20

Bonjour / Bonsoir !
J'ai des difficultés sur un exercice, dont voici l'énoncé :

f est la fonction polynôme de degré 2 définie sur R par f(x)=-2x²+24x-40. P est sa courbe représentative dans un repère. A et B sont les points d'intersection de la parabole P avec l'axe des absicisses et M est un point de P dont l'abscisse a est comprise entre les abscisses de A et de B. On note S(a) l'aire du triangle ABM.

1) Déterminer la position du point M pour laquelle l'aire de S(a) est maximale.
2) déterminer les positions du point M pour lesquelles S(a) 100. Arrondir au centième.

Pour la question 1 j'ai déterminé A et B en calculant ce qui m'a donné A(2;0) et B(10;0).
Je pense que  quand la fonction atteint son maximum l'aire du triangle est elle aussi maximale mais je ne suis sûre de rien.

Pour la question 2 : Je me doute qu'il faut faire une inéquation qui reprend "Base * Hauteur / 2 " mais je ne sais pas comment calculer la hauteur.

Si quelqu'un pouvait m'aider ce serait gentil
Merci

Posté par
GreenTre : Exercice de 1ere S - Fonction pôlynome. 25-09-15 à 19:28

Bonjour ;

Citation :
Je pense que  quand la fonction atteint son maximum l'aire du triangle est elle aussi maximale mais je ne suis sûre de rien

Citation :
Pour la question 2 : Je me doute qu'il faut faire une inéquation qui reprend "Base * Hauteur / 2 " mais je ne sais pas comment calculer la hauteur.


En prenant comme hauteur , celle issue du point M , et donc [AB] comme base , on voit bien que la hauteur = l'ordonnée de M. Avec ça , tu peux faire les 2 questions.

Posté par
Likedreamre : Exercice de 1ere S - Fonction pôlynome. 25-09-15 à 19:34

Citation :
En prenant comme hauteur , celle issue du point M , et donc [AB] comme base , on voit bien que la hauteur = l'ordonnée de M. Avec ça , tu peux faire les 2 questions.


Je comprends, donc l'inéquation serait 8xh/2 100 ?

Posté par
GreenTre : Exercice de 1ere S - Fonction pôlynome. 25-09-15 à 19:37

Oui. Tu peux expliciter h en l'exprimant en fonction de a.

Posté par
Likedreamre : Exercice de 1ere S - Fonction pôlynome. 25-09-15 à 19:44

Je vois mal comment l'exprimer en fonction de a, h correspond à l'ordonnée de M c'est correct aussi non?

Posté par
GreenTre : Exercice de 1ere S - Fonction pôlynome. 25-09-15 à 19:57

Tu ne peux pas résoudre l'inéquation si tu n'exprimes pas la hauteur en fonction de a, car l'inéquation porte sur a.

h est l'ordonnée de M. Et l'ordonnée de M est ...

Posté par
Likedreamre : Exercice de 1ere S - Fonction pôlynome. 25-09-15 à 20:00

L'ordonnée de M est 32
:?

Posté par
Likedreamre : Exercice de 1ere S - Fonction pôlynome. 25-09-15 à 20:02

Sachant que a = 8

h = 32 / 8 ?  

Posté par
GreenTre : Exercice de 1ere S - Fonction pôlynome. 25-09-15 à 20:04

Non. Tu vois bien que l'ordonnée de M dépend de a. M est d'abscisse a , et se situe sur la courbe P , donc..

Posté par
Likedreamre : Exercice de 1ere S - Fonction pôlynome. 25-09-15 à 20:13

Donc a ne représente pas la "distance" entre A et B.
M est l'image de a par la fonction f donc en calculant l'antécédent de a je trouve l'ordonnée de y ?

Posté par
GreenTre : Exercice de 1ere S - Fonction pôlynome. 25-09-15 à 20:19

J'ai l'impression que tu te mélanges les pinceaux là. a est défini comme l'abscisse du point M. M étant sur la courbe P , l'ordonnée de M est tout simplement l'image de a par f , donc c'est f(a).

Posté par
Likedreamre : Exercice de 1ere S - Fonction pôlynome. 25-09-15 à 20:24

Ah oui tout simplement x)


Merci beaucoup de ton aide en tout cas, passe une bonne soirée !

Posté par
Jedoniezhre : Exercice de 1ere S - Fonction pôlynome. 26-09-15 à 07:52

Bonjour à tous,

Ne nous privons pas d'une image.

1) Déterminer la position du point M pour laquelle l'aire de S(a) est maximale.

f a pour expression :

f(x)=-2x^2+24x-40,

donc de la forme :

f(x)=\underbrace{a}_{a<0}x^2+bx+c\text{ où }a=-2<0

On sait donc que cette parabolle sera "tournée vers le haut" (car le coefficient du x2 est négatif,

donc l'extremum de la courbe sera un maximum (=sommet de la parabole, si a coefficient de x2 avait été positif, la courbe aurait eu un minimum).

A partir du moment où l'on a dit cela, on sait que l'aire du triangle ABM sera :

Aire_{ABM}=\frac{1}{2}\times AB\times IM=\frac{1}{2}(x_B-x_A)(y_M-y_I)=\frac{1}{2}(10-8)(f(a)-0)=\underbrace{\frac{1}{2}(10-8)}_{\text{=valeur constante}}\times \underbrace{f(a)}_{\text{=vameur variable}}

A partir de cette expression, on voit bien que la variation de l'aire du triangle ne dépend que de la valeur variable, à savoir l'ordonnée du point M, c'est à dire f(a).

Donc si f(a) est maximum, l'aire sera maximum.

Donc l'aire sera maximum pour M au sommet de la dite parabole.

CQFD

Exercice de 1ere S - Fonction pôlynome.

Posté par
Jedoniezhre : Exercice de 1ere S - Fonction pôlynome. 26-09-15 à 07:56

Je reprends, en supprimant faute d'orthographe et faute de frappe.

Bonjour à tous,

Ne nous privons pas d'une image.

1) Déterminer la position du point M pour laquelle l'aire de S(a) est maximale.

f a pour expression :

f(x)=-2x^2+24x-40,

donc de la forme :

f(x)=\underbrace{a}_{a<0}x^2+bx+c\text{ où }a=-2<0

On sait donc que cette parabole sera "tournée vers le haut" (car le coefficient du x2 est négatif,

donc l'extremum de la courbe sera un maximum (=sommet de la parabole, si a coefficient de x2 avait été positif, la courbe aurait eu un minimum).

A partir du moment où l'on a dit cela, on sait que l'aire du triangle ABM sera :

Aire_{ABM}=\frac{1}{2}\times AB\times IM=\frac{1}{2}(x_B-x_A)(y_M-y_I)=\frac{1}{2}(10-8)(f(a)-0)=\underbrace{\frac{1}{2}(10-2)}_{\text{=valeur constante}}\times \underbrace{f(a)}_{\text{=vameur variable}}

A partir de cette expression, on voit bien que la variation de l'aire du triangle ne dépend que de la valeur variable, à savoir l'ordonnée du point M, c'est à dire f(a).

Donc si f(a) est maximum, l'aire sera maximum.

Donc l'aire sera maximum pour M au sommet de la dite parabole.

CQFD

Exercice de 1ere S - Fonction pôlynome.

Posté par
Jedoniezhre : Exercice de 1ere S - Fonction pôlynome. 26-09-15 à 08:17

Désolé, j'ai laissé ci-dessus une faute de frappe, le développement de l'expression est :

Aire_{ABM}=\frac{1}{2}\times AB\times IM=\frac{1}{2}(x_B-x_A)(y_M-y_I)=\frac{1}{2}(10-2)(f(a)-0)=\underbrace{\frac{1}{2}(10-2)}_{\text{=valeur constante}}\times \underbrace{f(a)}_{\text{=vameur variable}}

2) déterminer les positions du point M pour lesquelles S(a) 100. Arrondir au centième.

A partir de l'expression ci-dessus, on obtient :

Aire_{ABM}=\frac{1}{2}(10-2)\times f(a)=4f(a)

Donc on a :

S(a)=Aire_{ABM}\geq 100\Longleftrightarrow 4f(a)\geq 100\Longleftrightarrow f(a)\geq 25

Donc, les valeurs recherchées seront les abscisses des points d'intersection (sur la figure C et D) de la courbe de f avec la droite d'équation y=25.

Les positions du point M telles que S(a)\geq 0 correspondent donc à :

x_M=a\in[x_D,x_D]

Exercice de 1ere S - Fonction pôlynome.

Posté par
Likedreamre : Exercice de 1ere S - Fonction pôlynome. 26-09-15 à 19:48

Merci de ce complément, c'est ce que j'avais fais !


Pour l'image, tu as utilisé géogébra ?

Bonne soirée

Posté par
Jedoniezhre : Exercice de 1ere S - Fonction pôlynome. 26-09-15 à 19:50

Oui, géogebra.

Posté par
mak974re : Exercice de 1ere S - Fonction pôlynome. 24-10-18 à 16:07

bonjour, comment avez-vous calculé a tout d'abord ?

Posté par
Likedreamre : Exercice de 1ere S - Fonction pôlynome. 24-10-18 à 20:33

Merci mak de votre réponse
Mais maintenant que je suis en L2 d'autres problèmes se posent à moi xD
Et je ne me rappelle plus de comment j'avais résolu ce problème
Bonne soirée

Posté par
Jedoniezhre : Exercice de 1ere S - Fonction pôlynome. 25-10-18 à 12:29

Bonjour Likedream,

Te voilà en L2 ? Bravo !

En mathématiques ?

Posté par
mak974re : Exercice de 1ere S - Fonction pôlynome. 26-10-18 à 05:19

Merci quand même

Posté par
DarkPhoenixre : Exercice de 1ere S - Fonction pôlynome. 07-11-18 à 22:00

Je pense tout de même que le bouleau n'est pas achevé. Tu n'as pas donné d'intervalle concrète dans laquelle le point M varie.


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