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Exercice de barycentre me posant problème
Bonsoir,
je m'appelle Alexis et j'utilise votre forum pour la première fois. J'aurais juste une petite question concernant les barycentres. Il s'agit d'un exercice noté à rendre pour la rentrée !
L'énoncé est le suivant : soit ABC un triangle quelconque. Déterminer et construire l'ensemble des points M du plan tels que : || 2MA + 2MB - MC || = || MA + MB + MC || . Il s'agit de vecteurs mais je ne sais pas s'il est possible d'en faire avec ce forum...
J'ai déjà fait une première ébauche, pouvez-vous me dire si c'est correct, et si non , éventuellement me dire où se trouvent mes erreurs ? Merci par avance.
Première ébauche :
|| 2 MA + 2 MB - MC || = || MA + MB + MC ||
Prenons la partie de gauche de cette égalité.
Notons son barycentre G.
G existe, car 2+2-1 = 3 différent de 0.
Par suite, 2MA+2MB-1MC = (2+2-1)MG = 3MG (relation de Chasles).
Prenons la partie de droite de cette égalité.
Nous pouvons la simplifier, via la relation de Chasles:
MA + MB + MC = 1/2 MA + MB + 1/2 MA + MC = -1/2 AM + MB -1/2 MA + MC = -1/2 AB -1/2 AC
Par remplacement :
3||MG|| = ||-1/2AB -1/2 AC ||
avec || -1/2AB -1/2 AC || vecteur constant que nous pouvons nommer U.
Par suite : ||MG||= -1/6 AB -1/6 AC = -1/6 ||U||
G doit vérifier cette égalité et est donc le centre d'un cercle. Ce cercle,
de rayon -1/6 ||U||, est l'ensemble des points recherché.
Les points M sont donc tous les points équidistants, et vérifiant la longueur
MG = -1/6 ||U||.
Est-ce bon juste jusque là ? Merci par avance.
Alex.
Nous pouvons la simplifier, via la relation de Chasles:
MA + MB + MC = 1/2 MA + MB + 1/2 MA + MC = -1/2 AM + MB -1/2 MA + MC = -1/2 AB -1/2 AC
C'est là que tu t'es viandé... Pourtant c'était bien parti !
Non en fait il faut faire pareil qu'à gauche c'est-à-dire définir un point H comme isobarycentre de A,B et C... Soit : MA + MB + MC = 3 MH
Bonjour! Merci de votre réponse!
On a donc:
Première ébauche :
|| 2 MA + 2 MB - MC || = || MA + MB + MC ||
Prenons la partie de gauche de cette égalité.
Notons son barycentre G.
G existe, car 2+2-1 = 3 différent de 0.
Par suite, 2MA+2MB-1MC = (2+2-1)MG = 3MG (relation de Chasles).
Prenons la partie de droite de cette égalité.
On définit un point H comme isobarycentre de A,B et C. Soit : MA + MB + MC = 3 MH
Mais, pour la suite, comme ça change tout, je dois dire ça?
3MG = 3 MH
donc MG = MH
On peut donc dire que G et H sont les mêmes points?
.......
Je ne suis pas sur de moi là...
Donc je dis:
|| 2 MA + 2 MB - MC || = || MA + MB + MC ||
Prenons la partie de gauche de cette égalité.
Notons son barycentre G.
G existe, car 2+2-1 = 3 différent de 0.
Par suite, 2MA+2MB-1MC = (2+2-1)MG = 3MG (relation de Chasles).
Prenons la partie de droite de cette égalité.
On définit un point H comme isobarycentre de A,B et C. Soit : MA + MB + MC = 3 MH.
Cela signifie que 3 MG = 3 MH donc que M = GH (sous forme de longueur ou sous forme de vecteur?)
Donc: GH est le diamètre d'un cercle en faite?
MG = MH, ça veut dire que M est a égale distance de G et H... si ça te rappelle rien comme "ensemble de points" bah...
C'est une droite alors!?
A part un cercle et une droite, il n'y a pas d'autres possibilités pour un ensemble de points?
La droite perpendiculaire à la droite (GH) et équidistante de G et de H : donc en fait, l'ensemble des points M se situe sur la médiatrice au segment [GH] ?
Ah! Merci beaucoup !
J'ai encore quelques questions...
Comment fait-on pour placer G et H comme on ne connait pas les coefficients des points?
Euh oui... Enfin faut juste dire que G et H sont définis comme les barycentres... enfin ce qu'on a déjà dit -.-'
Le problème, c'est qu'il faut aussi que je fasse une figure.
Je pensais que ce serait simple, mais je ne vois pas comment la réaliser car on ne connait pas le placé exact de G et H...
Bah si tu sais placer G et H à partir de A, B et C... Regarde dans ton cours si tu sais pas placer un barycentre de plusieurs points
ici on a trois points donc, on utilise:
{(A,a) (B,b) (C,c) }
vectAG = b/a+b+c vect AG + c/a+b+c vect AC
On fait comment à partir d'ici? Car je ne réussis pas à remettre les expressions sous la forme d'un système . . .
Je vais finir par y arriver: (je refais!)
ici on a trois points donc, on utilise:
{(A,a) (B,b) (C,c) }
vectAG = b/a+b+c vect AB + c/a+b+c vect AC
On fait comment à partir d'ici? Car je ne réussis pas à remettre les expressions sous la forme d'un système . . .
on a en fait:
AG = 2/ 2+2-1 AB + -1/-1+2+2 = 2/3 AB -1/3 AC
et
AH = 1/1+1+1 AB + 1/1+1+1 AC = 1/3 AB + 1/3 AC
c'est bien cela?
A vue de nez ça a l'air bon.
On remarque que le milieu de [AB] est sur la droite... ce qui est évident quand on regarde les équations.
En effet, si on appelle I le milieu de [AB], alors .
Enfin bon c'est bon d'après moi 
J'ai le même exercice avec cette expression: (est-ce que ce que j'ai fait est juste?)
||2 vectMA +2 vectMB - 1 vectMC || = ||2 vectMA - 1 vectMB - 1 vectMC ||
Prenons la partie de gauche de cette égalité.
Notons son barycentre G.
G existe, car 2+2-1 = 3 différent de 0.
Par suite, 2MA+2MB-1MC = 3 MG (relation de Chasles).
Prenons la partie de droite de cette égalité.
Nous pouvons la simplifier, via la relation de Chasles:
2MA-MB-MC = MA-MB+MA-MC = MA+BM+MA+CM
= (BM+MA) + (CM+MA)
= BA + CA
Par remplacement :
3 ||MG|| = ||BA + CA ||
avec ||BA + CA || vecteur constant que nous pouvons nommer U.
Par suite : ||MG||= 1/3 ||U||
G doit vérifier cette égalité et est donc le centre d'un cercle. Ce cercle,
de rayon 1/3 ||U||, est l'ensemble des points recherché.
Les points M sont donc tous les points équidistants, et vérifiant la longueur
MG = 1/3 ||U||.
En pratique : le rayon r = 1/3 (2BA + 2CA) = 2/3 BA + 2/3 CA.
Oui pardon:
1/3 (BA + CA) donc 1/3 * || U || !
On a AG = b/a+b+c AB + c/a+b+c AC = 2/2+2-1 AB -1/-1+2+2 AC = 2/3 AB -1/3 AC
Donc on obtient l'ensemble M des points définis par ce cercle?
B appartient à l'ensemble des points M sur la figure que je vous ai montrée =) (avec CE triangle ABC)
Mais, est-ce qu'avec un triangle ABC complètement différent, B appartiendra toujours à l'ensemble des points M ?
D'accord, merci beaucoup!
J'ai (encore) une question... pour la construction d'une figure sur un autre exercice (du même genre) que je ne sais pas réaliser...
voici l'énoncé: "Soit ABC un triangle quelconque. Déterminer et construire l'ensemble des points M du plan tels que :
MA + MB - MC soit orthogonal à MA - MB + MC"
Je dois trouver un cercle de diamètre [GH] (G étant le barycentre de la première partie et H celui de la seconde) donc pour rayon ½ GH mais…. Comment tracer une telle chose ?
Je dois (là aussi) trouver les barycentres de chaque expression ? ou procéder différemment ?
Effectivement quand tu remplaces avec G et H comme barycentres, alors il te reste MG orthogonal à MH, soit le cercle de diamètre GH.
Pour tracer bah tu peux déterminer le milieu de [GH] et puis tracer le cercle... Je vois pas où est le souci
C'est pour placer G et placer H... Le reste je sais faire, mais pour placer G et H, comment dois-je procéder?
Lol bah c'est comme ce que tu as fait pour les autres... Je comprends pas pourquoi tu bloques sérieusement...
G = bar (A,1) (B,1) (C,-1) donc
Ah d'accord!
Donc:
{(A,1)(B,1)(C,-1)}
donc:
AG = b/a+b+c AB + c/a+b+c AC = 1 AB -1 AC
et
{(A,1)(B,-1)(C,1)
AH = b/a+b+c AB + c/a+b+c AC = -1 AB + 1 AC
est-ce juste?
Bon tu as fait un triangle isocèle...c'est pourquoi C est sur le cercle... Mais dans le cas général il n'est pas censé y être
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