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Niveau première
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exercice de premiére

Posté par
yous3-7-8
02-10-13 à 14:13

voiçi un pour çeux de la première:

Que soit (n appartient[N]), demontrer que si 3n+1 egale un carré parfait,donc n+1 égale a la somme de trois carrés parfait.


                                                                                           Merci.

Posté par
flight
re : exercice de premiére 03-10-13 à 14:54

salut

es tu sur de l'énoncé

parce qu'on peut dabord s'interesser à trouver n de facon que  3n + 1 soit un carré parfait ( 3n+1 = X²)

donc trouver n tel que 3 divise X²-1  , les seules réponses qui conviendrait pour serait  

X = 1[3]   ou  X =3k+1    et X=2[3]  ou X=2+3k .

si X=3k+1  alors  X² = 9k²+6k +1  et  donc n = X²-1 / 3  = 3k²+2k

si k = 1 j'ai n=5   et 3*5+1= 16 est bien un carré parfait
si k=2 j'ai n = 16   et 3*16 + 1 = 19 est bien un carré parfait
etc...

mais n+1 = 3k²+2k+1  qui est la somme de trois termes ne contient pas 3 carrés parfait .


si X = 3k+2  alors X² = 9k² +12k + 4   et donc n = X²-1 / 3 = (9k²+12k+4-1)/3 = 3k² +4k + 1

si k = 1 alors  n = 8  et 3*8+1 = 25 est bien un carré parfait
si k = 2 alors  n= 21  et 3*21*+1 = 64  est un carré parfait

mais n +1 = 3k²+4k+2  n'est pas la somme de 3 carrés parfait

Posté par
yous3-7-8
re : exercice de premiére 03-10-13 à 21:01

Salut j'ai fait:
Que soit 3n+1=(a+1)² (aN)
donc: 3n+1=a²+2a+1
      3n=a²+2a
donc: a²+2a et un diviseur de 3
donc: Que soit a=3f (fN)
donc: a²+2a=9f²+6f  (car a²+2a est un diviseur de 3)
      3n=9f²+6f
      n=3f²+2f
donc: n+1=3f²+2f+1
      n+1=2f²+(f²+2f+1)
      n+1=2f²+(f+1)²
donc: n+1=f²+f²+(f+1)²

Posté par
yous3-7-8
re : exercice de premiére 03-10-13 à 21:08

c'est ça

Posté par
Pierre_D
re : exercice de premiére 04-10-13 à 18:09

Bonjour,

a) il vaudrait mieux dire "3 est un diviseur de a²+2a" plutôt que l'inverse ...
b) 3 divise a²+2a = a(a+2) implique que 3 divise a ou (a+2) : il faut examiner les deux possibilités

Posté par
yous3-7-8
re : exercice de premiére 14-10-13 à 22:38

merci trop fort :)



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