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Exercice de probabilité
Bonjour, j'ai un problème à cet exercice de DM, voici l'énoncé :
Pour limiter le nombre de filles dans un pays (imaginaire ?), on décide que :
chaque famille aura au maximum 4 enfants ;
chaque famille arrêtera de procréer après la naissance d'un garçon.
On considère que chaque enfant a une chance sur deux d'être un garçon ou une fille et que, pour chaque couple de parents, le sexe d'un enfant est indépendant du sexe des précédents.
Ce choix a-t-il la conséquence attendue, à savoir de diminuer le nombre de filles dans la population ?
Tout d'abord j'ai posé W soit la variable aléatoire qui compte le nombre de fille puis X la variable aléatoire qui compte le nombre de garçons
Avec valeurs de W : 0; 1; 2; 3; 4
pour probabilité : 1/2; 1/2; 1/4; 1/8; 1/16
Avec valeurs de X : 0; 1
pour probabilité : 1/16; 15/16
E(W)= 13/8 Soit 13/8 la moyenne du nombre de filles
E(X)= 15/16 Soit 15/6 la moyenne du nombre de garçons
C'est ICI que je bloque, je ne sais pas quoi faire après afin de répondre à la question, merci d'avance pour votre aide.
Cordialement.
Salut.
Les probabilités pour W ont été mal calculées.
Additionne-les et tu obtiendras plus d'un.
Johnny
OK je suis d'accord que les probabilités pour W ont été mal calculées puisque ce n'est pas égale à 1 mais je ne comprends pas où est mon erreur car si j'ai bien compris :
on a une chance sur deux d'avoir un garçon ou une fille (
G : Garçon F : Fille)
Alors la probabilité d'avoir 0 fille c'est la probabilité 1/2, c'est la p(G)= 1/2
Pareil la probabilité d'avoir 1 fille c'est la probabilité 1/2, c'est la p(F)= 1/2
la probabilité d'avoir 2 filles c'est la probabilité 1/4, c'est la p(FF)= 1/2*1/2 = 1/4
la probabilité d'avoir 3 filles c'est la probabilité 1/8, c'est la p(FFF)= 1/2*1/2*1/2 = 1/8
la probabilité d'avoir 4 filles c'est la probabilité 1/16, c'est la p(FFFF)= 1/2*1/2*1/2*1/2 = 1/16
Je ne comprends pas pourriez-vous m'expliquer s'il vous plait. Merci d'avance.
Salut, Nico.
Dessine d'abord un arbre de probabilités pour que ce soit plus clair (moi, je suis très visuel, et parfois ça m'aide).
P(0 filles) = P(Garçon la première fois) = 1/2 : Là on est d'accord.
P(1 fille) = P(Fille 1ere fois) x P(Garçon la 2eme fois) = (1/2) x (1/2) = 1/4
P(2 filles) = P(Fille 1ere fois) x P(Fille la 2eme fois) x P(Garçon la 3eme fois) = (1/2) x (1/2) x 1/2 = 1/8
P(3 filles) = P(Fille 1ere fois) x P(Fille la 2eme fois) x P(Fille la 3eme fois) x P(Garçon la 4eme fois) = (1/2) x (1/2) x 1/2 x 1/2 = 1/16
P(4 filles) = P(Fille 1ere fois) x P(Fille la 2eme fois) x P(Fille la 3eme fois) x P(Fille la 4eme fois) = (1/2) x (1/2) x 1/2 x 1/2 = 1/16
Là: 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/16 = 1
Johnny
salut
j'aurais pri comme variable aleatoire X le rang d'apparition du premier garcon
P(X=0)= P(FFFF)= 1/16
P(X=1)= P(G)=1/2 = 8/16
P(X=2)=P(FG)= 1/4 = 4/16
P(X=3)= P(FFG)=1/8 = 2/16
P(X=4)= P(FFFG)= 1/16
le total fait bien 1
D'accord j'ai compris ton explication, j'ai donc recalculé E(W)et j'ai trouvé la même espérance que E(X) soit 15/16
soit E(W)= 15/16 = 0,9375 Soit 15/16 la moyenne du nombre de filles
E(X)= 15/16 = 0,9375 Soit 15/16 la moyenne du nombre de garçons
Maintenant, que puis-je faire pour répondre à la question de l'énoncer à savoir :
Ce choix a-t-il la conséquence attendue, à savoir de diminuer le nombre de filles dans la population ?
Ce choix a-t-il la conséquence attendue, à savoir de diminuer le nombre de filles dans la population ?
c'est le calcul de l'esperance du nombre de garcon qui répond à la question et tu l'a deja calculé
ok mais je ne comprends pas en quoi l'espérance du nombre de garçons (E(X)= 15/16 = 0,9375 Soit 15/16 la moyenne du nombre de garçons) peut répondre à la question
Ce choix a-t-il la conséquence attendue, à savoir de diminuer le nombre de filles dans la population ?
pourriez-vous m'expliquer ce que je dois en conclure
Excusez-moi je peux paraitre lourd mais je ne vois pas le rapport entre la moyenne du nombre de garçons et la limitation du nombre fille.
Pourriez-vous développer votre résonnement s'il vous plait.
l'esperance calculée indique la moyenne du nombre de garcon pouvant se trouver dans une famille comptant au plus 4 enfants
ici cette moyenne est d'a peine 1 (0,9375) donc meme pas un garcon
Donc si j'ai bien compris on peut répondre à la question en disant :
L'espérance calculée indique la moyenne du nombre de garcon pouvant se trouver dans une famille comptant au plus 4 enfants
ici cette moyenne est d'a peine 1 (0,9375) donc même pas 1 garçon.
On peut en conclure qu'il n y a aucune conséquence pour limiter le nombre de filles puisque sur 4 enfants moins de 1 garçon né en moyenne, alors que plus de 3 filles naissent en moyenne.
Est-ce une justification correct ?
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