bonjour,

as tu determiné l'équation de la tangente à la courbe qui passe par P ?

Désolé de la réponse tardive...

y = f'(a)(x-a)+f(a)
y = 12(x-10)+45
y= 12x-120+45
y=12x-75

Après je dois chercher quand f(x) = 12x-75 ?

Bonjour,

En attendant que Leile reprenne la main....
Ce que tu as entrepris ne me semble pas convenir.

Ce que tu dois déterminer, ce sont les coordonnées d'un point M de la courbe représentative de f, celui où le véhicule quitte la piste. Si tu parviens à déterminer l'abscisse a de ce point M bien sûr tu auras aussi son ordonnée f(a).

Dans ton ébauche de solution (1er message) tu poses à priori que a = 10, ce qui est manifestement faux (regarde la figure... le point M ne peut pas avoir pour abscisse 10).

Appelle "a" l'abscisse inconnue du point M et comme Leile te l'a suggéré, écris l'équation de la tangente.... en fonction de "a".

Bonjour,

Merci ZEDMAT pour cette belle animation !
et merci d'être venu pendant mon absence.

Jam18,
dans tout ce que tu as écrit, tu as considéré que P était sur la courbe, mais il n'en est rien.
Ainsi quand tu écris : y = f'(a)(x-a)+f(a)   c'est juste, mais a représente l'abscisse du point de tangence qui appartient à la courbe.  
a=10 ne colle pas.
Ce que tu cherches, c'est la valeur approchée de a, justement.
exprime f'(a)  et f(a), en gardant a, sans lui donner de valeur.
puis seulement, note que cette droite passe par P.
tu auras alors un polynôme dont a est racine.

NB : f(x) peut aussi s'écrire  f(x) = 0.03x^3  +  0.15 x²  (si tu préfères sans les fractions).

Je ne peux pas rester cet après midi. ZEDMAT, si tu peux terminer avec Jam18, n'hésite pas !

ZEDMAT Leile
Bonjour,
alors ça donne :
y= f'(a)(x-a)+f(a)
f(x)= 0.03x³+0.15x²
f(a) = 0.03a³+0.15a²
f'(a) = 0.03(3a)²+0.15(2x) =0.09a²+0.3x

y= (0.09a²)(x-a)+(0.03a³⁺0.15x²)
y= (0.09a²)(x-a)+0.03a³⁺0.15x²
C'est correct ?

ZEDMAT
f'(a) = 0.03(3a)²+0.15(2x) = 0.09a²+0.3x
y = f'(a)(x-a)+f(a)
y= (0.09a²+0.3x)(x-a)+0.03a³+0.15a²
y= (0.09a²*x-0.09a³+0.3x²-0.3xa)+0.03a³+0.15a²
y= -0.06a³+0.3x²+0.15a²-0.3xa+0.09ax²
Ensuite ? ça me parait pas bon

ZEDMAT
Comment imposé à une tangente de passer par un point ?

en l'absence de ZEDMAT :

f'(a) = 0.03(3a)²+0.15(2x) = 0.09a²+0.3x
en rouge, c'est faux car tu dois remplacer x par a (ZEDMAT te l'avais noté, mais tu ne l'as peut-être pas vu).
on a plutôt
f'(a) = 0.09 a²  + 0.3 a

et  y= (0.09a²+0.3a)(x-a)+0.03a3+0.15a²
y    =   (0.09 a² + 0.3 a ) x   -  0.09a^3  -  0.3a²  +  0.03a^3  +  0.15 a²
partie bleue  à réduire.
ainsi   tu as bien une équation de droite sous la forme   y = mx+p

cette droite passe par P  : les coordonnées de P vérifient l'équation de la droite.

==>    yP  =  m xP +  p
==>   15 =  m * 10 + p
OK ?

Leile
Ah j'ai mal lu, ça me semblait bien étrange de trouver avec des x et a avec différents exposant.
f'(a)= 0.09a²+0.3a
y= (0.09a²+0.3a)(x-a)+0.03a³+0.15a²
y= (0.09a²+0.3a)x-0.09a³-0.3a²+0.03a³+0.15a²
y=(0.09a²+0.3a)x - 0.06a³-0.15a
Leile

Donc P(10;15)
y=(0.09a²+0.3a)x - 0.06a³-0.15a
15=(0.09a²+0.3a)10 - 0.06a³-0.15a
Ensuite je dois résoudre l'équation ? Elle m'a l'air compliqué à résoudre

y=(0.09a²+0.3a)x - 0.06a3-0.15a²

15=(0.09a²+0.3a)10 - 0.06a3-0.15a²

ne la laisse pas comme ça, développe, réduis, et pose l'égalité à 0..

a est racine de ce polynôme.
Difficile à résoudre, oui, mais la question est juste de trouver une valeur approchée..
pose le polynôme, et on terminera ensemble.

On est, Leile et moi, à tes cotés pour le sprint final .
Deux coaches pour toi tout seul : quelle chance

Sur la figure animée, on peut "choper" au vol, une valeur approchée de a
histoire d'avoir un ordre de grandeur de ce que l'on doit trouver.

Mais bon, on peut faire mieux....
En suivant les conseils de Leile, tu as du obtenir une équation de la forme g(a) = 0 dans laquelle la fonction g est un polynôme de degré 3.
On peut étudier les variations de ce polynôme g de degré 3 sur [-3, 6] et repérer pour quelle valeur de la variable, ce polynôme s'annule sur [-3;6]....
Puis si on veut "bien faire", appliquer le théorème des valeurs intermédiaires...

Quelle fonction g as tu vu apparaitre ? (regarde vite fait sa courbe représentative... et une valeur approchée de a y est lisible !)

Leile
(0.09a²+0.3a)10-0.06a³-0.15a² =15
0.9a²+3a-0.06a³-0.15a² = 15
-0.06a³+0.85a²+3a-15=0
Je fais comment pour résoudre ça, c'est pas un polynôme ?

ZEDMAT
Je viens de voir votre message...
A oui 2 coaches c'est parfait, je vous remercie beaucoup d'ailleursZEDMATLeile.
Sinon pour le polynome de degré 3 ça marche comme le segond ?
J'ai vu que le segond degré moi pour l'instant... Et le théorème des valeurs interédiaires non-plus

ZEDMAT
Je reprends j'ai été trop vite :
ça donne :
-0.06a³+0.75a²+3a-15=0
Excusez moi...

ah ah ! deux coachs, c'est le luxe !!
Ce qui est bien, c'est que ZEDMAT et moi sommes sur la meme ligne  

Puisque tu n'as pas vu le théorème des valeurs intermédiaires, laissons le de côté.
Montre le polynôme auquel tu as abouti, pour qu'on soit sûr de parler de la même chose.

Ensuite, comme ZEDMAT te l'a dit :
soit, tu étudies les variations de ce polynôme, et tu regardes où il s'annule environ..
soit tu fais une lecture graphique sur l'animation de ZEDMAT, et tu vois que a vaut environ 3.
(dis nous ce que tu vas faire).
Ensuite, il faudra faire quelques calculs avec ta calculatrice !

ZEDMAT, je vais préparer le repas : je te laisse poursuivre..

lis d'abord mon précédent message et corrige

ZEDMAT
Je suis passé par la lecture graphique avec TRACE, ça me semble plus simple et rapide. Je l'ai fait sur ma calculatrice et géogebra ( pour ici) j'ai trouver les mêmes coordonnées donc tout va bien à ce niveau. En revanche, pourquoi la sécante ne passe pas par P

Ta figure GEOGEBRA est fausse parce que la fonction h (pour g) n'est pas la bonne !
Tu as repris la valeur fausse 0,85 au lieu de 0,75....

et puis tu n'as pas tracé de tangente....*
l n'y a aucune raison que la courbe noire de h (ou g) passe par P.

Mon souper est prêt.... PAUSE.

ZEDMAT
Bon appétit
Qu'en pensez-vous de ceci ?
Je n'arrive pas à tracer la tangente pour vérifié mes résultats...

Je te conseille de ne pas mélanger les courbes.

Sous GEOGEBRA puisque tu maitrises, représente graphiquement la fonction g définie par :
g(x) = -0,06x³+0,75x²+3x-15.

Je te rappelle que l'on cherche une valeur de x  pour laquelle g(x) est égal à 0.

Graphiquement, on voit qu'il y en a TROIS mais une seule appartenant à l'intervalle [-3; 6].
GEOGEBRA peut te donner l'abscisse du point d'intersection de Cg avec l'axe des abscisses.

Quelle  valeur de x (x€[-3;6]), pour laquelle g(x) = 0, as tu trouvée ?

ZEDMAT
Ah mince j'ai oublié de sauvegarder la bonne image...
Voici la bonne représentation :

ZEDMAT

Donc la valeur x que j'ai trouvé : 3.77
Tout est bon ?

NON, je ne pense pas
Là encore tu mélanges les courbes .
Fais ce que je t'ai suggéré : la courbe de g toute seule

ZEDMAT  et Jam18, vous avez super bien avancé : juste un petit passage, et je vous laisse.

La lecture graphique oriente vers la bonne valeur de a, mais je pense qu'on ne pourra pas se passer de la calculatrice ensuite, car on  demande une valeur approchée à 10^-2..
Perso, je dirais qu'il faudra calculer g(a) au minimum pour a = 3, puis, pour a=3,1
puis pour a = 3,15.
et mieux, calculer  g(a) pour a=3,2 pour borner..

Je ne crois pas dévoiler quoi que ce soit en donnant ces valeurs : je pense que Jam18 y était, n'est ce pas ?

Qu'en penses tu ZEDMAT ?

@ Leile
Tout a fait d'accord
mais je crains que Jam fatigue un peu ce soir

@ Jam18
As tu compris la confusion générée par tes courbes dans un même repère ? Reprends cela calmement.

pour compléter mon précédent message (regarde le en premier)

Voici ce que j'ai obtenu avec une calculatrice et sa fonction TRACE :
uniquement la courbe représentative de de g
(avec une fenêtre adaptée !!)
y n'est pas rigoureusement égal à 0 mais très proche de 0
cette valeur est obtenue avec x = 3,14

Tu dois obtenir l'équivalent avec GEOGEBRA.

Si tu es fatigué, on peut arrêter pour aujourd'hui ? C'est toi qui voit

ZEDMAT
Je ne comprends pas pourquoi le point que j'ai pris n'est pas bon, car on cherche le point ou le pilote est sortit du circuit non ? Le circuit c'est 0.03x³ +0.15x²
Je fatigues un peu oui, c'est un nouveau chapitre pour moi mais je me dois de réussir surtout que j'ai pris spé math et que on a finis là, on finis ce qu'on a commencé ( si vous pouvez)

ZEDMAT @ 07-11-2020 à 20:56

@ Leile
Tout a fait d'accord
mais je crains que Jam fatigue un peu ce soir

Jam18

reviens sur ce qu'on a fait , (et n'oublie pas qu'on cherche a, l'abscisse du point de tangence) :
tu as établis l'équation de la tangente  avec la formule y=f'(a)(x-a)+f(a)
y=(0.09a²+0.3a)x - 0.06a3-0.15a²

ensuite tu as dit qu'elle passait par P (10 ; 15) :
15=(0.09a²+0.3a)10 - 0.06a3-0.15a²

tu as développé, réduit, et posé l'égalité à zero
et ça t'a donné un polynôme dont a est l'inconnue, et qu'on a appelé entre nous g(a) :
g(a) = -0,06a³+0,75a²+3a-15.
on cherche a   tel que g(a)=0
comme il est compliqué de calculer les racines de g, on a tracé sa courbe, pour faire une lecture graphique. C'est quand cette courbe là coupe l'axe des abscisses que g(a)=0.
OK ?

Pour chercher une valeur de x telle que g(x) = 0, on peut tracer la courbe représentative de la fonction g. Par construction cette courbe est l'ensemble des points du plan qui ont pour coordonnées x et g(x).
Si on prend le point d'abscisse 4 de cette courbe, on sait que son ordonnée sera g(4).

Ici on s'intéresse aux points de la courbe dont l'ordonnée est 0 : ces points sont les points d'intersection de la courbe avec l'axe des abscisses. Les abscisses de ces points sont des nombres x dont l'image par la fonction g est ...0 donc ces nombres sont tels que g(x) = 0.
Ils sont des solutions de l'équation  g(x) = 0.

La représentation graphique de la fonction g n'est ici qu'un moyen de résoudre graphiquement l'équation g(x) = 0. La courbe de g n'a rien à voir avec la trajectoire du quad.

Je te donne la représentation graphique de la fonction g qui ne sert ici qu'à résoudre l' équation g(x) = 0.

ZEDMAT, j'ai bien aimé qu'on soit à deux sur ce devoir. Merci de tes beaux schémas et animations. J'ai trouvé qu'on avait bien coordonné nos interventions, et j'espère que tu as, toi aussi, apprécié cette expérience en "bi-coachs".
Je te souhaite une bonne nuit.
A une prochaine fois peut-être

lis d'abord les messages qui précèdent...


Si on admet que le nombre "a" que l'on cherche est 3,15, on peut revenir à la courbe d'équation y = f(x) représentant la piste de quad. On va y placer le point M d'abscisse 3,15 et donc d'ordonnée f(3,15) =( je te laisse le calculer).
Maintenant tu peux calculer l'équation de la tangente à la piste au point M(3,15; f(3,15)) et tracer cette tangente.

Si on ne s'est pas égaré  dans les calculs, cette tangente DOIT passer par P.

Geogebra peut tracer la tangente : dans la zone de saisie tu rentres :
tangente(3.15,f)
et la tangente à la courbe de f au point d'abscisse 3,15 est tracée

Bon, je me déconnecte car je fatigue ! Bonne nuit.
Va dormir et reprends tout cela tranquillement demain....

@Leile
Super en effet.
A une autre fois.
Repos bien mérité

ZEDMAT Leile
Un grand merci à vous 2, je vais me reposer et revoir tout ça demain, si j'ai une question, je la mettrai ici.
Bonne nuit

Bonjour,
Tout d'abord merci à JAM18 d'avoir poser la question (j'ai exactement les même difficultés sur cette exercice)  et à ZEDMAT et à Leile d'y avoir répondu. Je voulais savoir si le résulta que j'ai trouvé suite à vos explications est juste.

avec l'équation de la tangente au point d'abscisse 3,15 j'ai trouvé y=1,84x(-3,36) et ensuite j'ai trouvé comme point de sortie (1,82; 0,68). Est-ce bon?

@ esra74

Citation :
j'ai trouvé y=1,84x(-3,36)
si tu mets des parenthèses, cela est un produit...
et ensuite j'ai trouvé comme point de sortie (1,82; 0,68).
Je ne comprends pas ce que tu veux dire
Regarde tous les messages et en particulier les figures... tout est dit.

merci  de votre réponse!
je corrigerais ma faute pour les parenthèses. Et "le point de sortie" c'était pour la question de l'exercice: "déterminer les coordonnées du point où il a quitté la piste" il étant le conducteur  de quads.
J'ai peut-être loupé une de vos réponse, je vais revoir ça.

Peut-être qu'en relisant l'énoncé :