Bonsoir, j'ai un exercice noté à rendre et je voudrais avoir une correction s'il vous plaît. Je vous en remercie profondément =)
Énoncé :
Une entreprise souhaite fabriquer, puis commercialiser un produit A.
elle estime que le coût total de fabrication (en millier d'€) de q produits (en milliers d'unités) peut être modélisé par la fonction:
C(q)=0.05q²+0.2q+20
où q varie entre 5 et 30.
1.Bénéfice maximal:
Cette entreprise envisage de vendre ce produit au prix unitaire de 2.30€.
a) exprimer en fonction de q la recette R(q) issue de la vente de q unités.
b) démontrer que le bénéfice réalisé par l'entreprise est alors exprimé par:
B(q)= -0.05q²+2.1q-20
Dans quel intervalle doit se situer la production de cette entreprise pour quelle est un bénéfice positif?
c) pour quelle production ce bénéfice est-il maximal?
2.Coût moyen:
On défini le coût moyen d'une unité comme le coût de production par unité produite: CM(q)= C(q)/q
a) exprimer CM(q) en fonction de q.
b) étudier les variations de la fonction CM pour q[5;30].
c) pour quelle production de q0 ce coût moyen est-il minimal?
3.Coût marginal:
On défini maintenant le coût marginal comme le coût occasionné par la production d'une unité supplémentaire:
Cm(q)=C(q+1)-C(q)
a) Calculer Cm(25) et comparer le résultat trouvé avec C'(25), où C' est la fonction dérivée de C.
b) soit qo l'abscisse du minimum de la fonction coût moyen CM trouvé à la question 2.c, Démontrer que le Cm(q0)=CM(q0) puis que la tangente à la courbe représentative de la fonction coût total C au point d'abscisse q0 passe par l'origine du repère.
Ce que j'ai fais :
I. Coût maximum,
a) R(q) = 2.3q
b) R(q) -C(q) = B(q)
Soit B(q) le bénéficie, R(q) la recete issue de la vente, C(q) le coût total de la fabrication de q produits
B(q)= 2.3q-(0.05q²+0.2q+20) = 2.3q-0.05q²-0.2q-20
= -0.05q²+2.1q-20
b) Soit B(q) = 0
-0,05q2+2,1q-20
Delta = 0,41 > 0, on a
x1 = 14,59 et x2 = 27,4
La production doit se situer dans l'intervalle [14;27]
c) B(q)= - 0.05q2+2.1q-20
B'(q)= -0.1q+2.1
B'(q)= 0 équivalent à : -0.1q+2.1 = 0
-0.1q = -2.1
0.1q = 2.1
Q = 21
Il est maximal pour q = 21 et il atteint 2,05.
II.
a) CM(q)= (0.05q2+0.2q+20)/q
CM(q) = 0.05q + 0.2 + 20/q
b) CM'(q) = 0.05 - 20/q2
CM'(q) = 0
équivalent à 0.05-20/q2 = 0
Equivalent à 0.05 = 20/q2
0.05q2=20
q²=20/0.05
q=20
c) CM' s'annule pour q=20 en changeant de signe. De plus CM décroît puis croît donc ce coût moyen minimal est 2.2 atteint pour q=20.
III.
a) Cm(25) = C(26)-C(25)
Cm(25)=59-56.25
Cm(25)=2.75
C'(25)=0.1*25+0.2=2.7
b) Cm(q0)=C(q+1)-C(q)
CM(q)=C(q)/q
Cm(q)=0.05(q+1)2+0.2(q+1)+20-(0.05q2+0.2q+20)
Cm(q)=0.05q2+0.1q+0.05+0.2q+20+0.2/0.05q2-0.2q-20
Cm(q)=0.1q+0.25
CM(q)=0.05q2+0.2q+20/q
0.1+0.2 ?
• Équation de la tangente :
Y=C'(q) (x-q) +C'(q)
Y=2,2 (x-20) +44
Y=2,2x-44+44
Y=2,2x=> mx+p avec p=0
Donc c'est une droite d'équation (mx+p)d'une fonction linéaire alors cette droite passe par 0.
Bonsoir
Bénéfice maximal
intervalle pour q=14 le bénéfice est négatif
maximum : dérivée nulle en changeant de signe il faut montrer que le signe change à 21
coût moyen
On ne vous demande pas quand la dérivée de CM est nulle mais l'étude de la fonction
donc signe de la dérivée théorème et tableau de variation
là utilisation du tableau coût moyen minimal 20
Pourquoi n'avez-vous pas dit cela au paragraphe précédent
3 coût marginal
vous connaissez il vaut 20 donc
équation de la tangente (0,0) appartient à cette droite
n'est pas une équation de droite il faut écrire
Bonsoir, vous allez bien ?
Merci de votre réponse.
Je bloque sur la question b) de la dernière partie, c'est à dire monter que Cm(q0)=CM(q0) puis que la tangente à la courbe représentative de la fonction coût total C au point d'abscisse q0 passe par l'origine du repère. Comment faire cela ?
est la valeur qui rend le coût moyen minimal donc
Ensuite les deux calculs ont été faits On a bien 2,2 dans chaque cas
Quant à la tangente vous avez écrit son équation
Soit c'est la représentation graphique d'une fonction linéaire et la droite passe par l'origine
soit l'origine est un point de la droite
Argumentez comme vous voulez
Et tu peux montrer que c'est vrai quelque soit la fonction C(q).
une tangente en q=q0 a pour équation y = C'(q0)(q-q0)+C(q0).
Elle passe par l'origine si -q0C'(q0) + C(q0) = 0
mais par ailleurs, q0 annulait la dérivée de CM(q) = C(q)/q
et si on dérive CM'(q) = (qC'(q)-C(q))/q²
on retrouve bien que q0C'(q0)-C(q0) = 0
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