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Niveau première
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Exercice - Dérivées - Première

Posté par
Chokapik31000
23-02-20 à 16:49

Bonjour j'ai un exo à faire pour demain, j'y arrive pas (je connais mon cours, mais je comprends pas comment arriver à faire l'exercice), j'aimerais bien de l'aide et des pistes pour arriver à le faire si possible.

Voici l'énoncé :

Une entreprise produit et commercialise entre 4 et 16 tonnes d'engrais par jour.
On admet que toute sa production est vendue.
Le bénéfice total, exprimé en centaines d'euros, réalisé pour x tonnes d'engrais, est modélisé à l'aide de la
fonction B définie sur l'intervalle [4;16] par B(x)=-x²+20x-64


1. a) Etudier les variations de la fonction B sur [4;16]
b) Déterminer la production permettant de réaliser un bénéfice total maximal. Quel est ce bénéfice total ?

2. Le bénéfice unitaire pour x tonnes d'engrais est donné par BU(x)=B(x)/x
a) Montrer que ce bénéfice unitaire est f(x), sachant que f(x)=-x+20-(64/x).
b) Le bénéfice total et le bénéfice unitaire sont-ils maximaux pour la même production d'engrais ?


Voilà, merci d'avance

Posté par
Yzz
re : Exercice - Dérivées - Première 23-02-20 à 16:53

Salut,

Pas d'idée pour la question 1 ?

Posté par
hekla
re : Exercice - Dérivées - Première 23-02-20 à 16:56

Bonjour

Question 1 une classique étude de fonction soit cours de seconde soit dérivée signe de la dérivée sens de variation

Maximum de la fonction

question 2 on divise B(x) par x

Posté par
hekla
re : Exercice - Dérivées - Première 23-02-20 à 16:56

Bonsoir Yzz

Je vous laisse poursuivre

Posté par
Chokapik31000
re : Exercice - Dérivées - Première 23-02-20 à 16:57

Pour la question 1 j'ai fait B(4)=32 et B(16)=512. Donc ça voudrait dire que B est croissante sur [4;16] ?

Posté par
Yzz
re : Exercice - Dérivées - Première 23-02-20 à 16:58

Salut hekla  
Bonne soirée !

Jette un œil quand même, pas sûr que je reste longtemps...

Posté par
Yzz
re : Exercice - Dérivées - Première 23-02-20 à 16:59

Chokapik31000 @ 23-02-2020 à 16:57

Pour la question 1 j'ai fait B(4)=32 et B(16)=512. Donc ça voudrait dire que B est croissante sur [4;16] ?
Non.

Comme hekla l'a signalé, deux méthodes :
Soit tu te rappelles du cours de seconde sur le 2nd degré (courbe = parabole, "tournée vers le haut" si ... etc ...)
Soit tu utilises la dérivation.

Posté par
Chokapik31000
re : Exercice - Dérivées - Première 23-02-20 à 17:04

Donc là a=-1 donc a<0 donc la parabole est tournée vers le bas ?

Posté par
Yzz
re : Exercice - Dérivées - Première 23-02-20 à 17:04

Oui ; l'abscisse du sommet ? (formule...)

Posté par
Chokapik31000
re : Exercice - Dérivées - Première 23-02-20 à 17:06

C'est quoi déjà

Posté par
Yzz
re : Exercice - Dérivées - Première 23-02-20 à 17:10

Pour ax²+bx+c , c'est -b/(2a)

Posté par
Chokapik31000
re : Exercice - Dérivées - Première 23-02-20 à 17:14

Donc abscisse du sommet = 10

Posté par
Yzz
re : Exercice - Dérivées - Première 23-02-20 à 17:16

Oui.

Posté par
Chokapik31000
re : Exercice - Dérivées - Première 23-02-20 à 17:21

Du coup faut faire le tableau

x  4               10                        16

B  32   flèche vers le haut   B(10)  flèche vers le bas  512

Et c'est bon ?

Posté par
Yzz
re : Exercice - Dérivées - Première 23-02-20 à 17:24

B(10) à calculer...

Posté par
Chokapik31000
re : Exercice - Dérivées - Première 23-02-20 à 17:26

B(10)=236, du coup ça colle pas si ?

Posté par
Yzz
re : Exercice - Dérivées - Première 23-02-20 à 17:30

B(4) et B(16) : résultats faux

Attention : -x² (-x)²

Posté par
Chokapik31000
re : Exercice - Dérivées - Première 23-02-20 à 17:33

Ah oui, j'ai recalculé ça fait B(4)=0 B(10)=32 et B(16)=0

Posté par
Yzz
re : Exercice - Dérivées - Première 23-02-20 à 17:34

Oui  

Posté par
Chokapik31000
re : Exercice - Dérivées - Première 23-02-20 à 17:35

Et pour la b du coup le bénéfice maximal est 32 atteint pour 10 tonnes

Posté par
Yzz
re : Exercice - Dérivées - Première 23-02-20 à 17:37

32 quoi ? (important ! )

Posté par
Chokapik31000
re : Exercice - Dérivées - Première 23-02-20 à 17:37

Ah oui 32 centaines d'euros

Posté par
Yzz
re : Exercice - Dérivées - Première 23-02-20 à 17:39

Oui donc, 3200 €.

Posté par
Chokapik31000
re : Exercice - Dérivées - Première 23-02-20 à 17:39

Et... Pour la 2a j'ai fait le calcul et j'ai bien f(x) mais j'arrive pas à faire la b

Posté par
Yzz
re : Exercice - Dérivées - Première 23-02-20 à 17:43

Ilfaut ici que tu étudies les variations de la fonction f.
Cette fois-ci, il va falloir dériver f ...

Posté par
Chokapik31000
re : Exercice - Dérivées - Première 23-02-20 à 17:47

Ok je vais le faire

Posté par
Yzz
re : Exercice - Dérivées - Première 23-02-20 à 17:49

OK  

Posté par
Chokapik31000
re : Exercice - Dérivées - Première 23-02-20 à 17:55

J'ai (-x²+64)/x² pour f' mais je sais pas comment l'étudier vu qu'elle n'est pas de la même forme que celle qu'on vient de faire.

Posté par
Yzz
re : Exercice - Dérivées - Première 23-02-20 à 17:59

Il te faut le signe de cette dérivée.
C'est le même que celui de -x²+64, car le dénominateur (x²) est positif.
OK ?

Et le signe de -x²+64 est facile à trouver (2nd degré...)

Posté par
Chokapik31000
re : Exercice - Dérivées - Première 23-02-20 à 18:08

-x²+64=0
x²=64
Donc x = racine carré de 64 = 8
Donc pour le tableau ça donnerait

x 4                                8                                  16

f'            +                    0                        -

f     flèche haut    f(8)=4   flèche bas


Je suis pas sûr pour les signes de f'...

Posté par
Yzz
re : Exercice - Dérivées - Première 23-02-20 à 18:11

Le résultat est correct, mais pas la justification !

x²=64 a deux solutions (8 et -8) ; et il faut justifier les signes...
C'est dans le chapitre "second degré" : "signe de a à l'extérieur des racines : ça te dit quelque chose ?

Posté par
Chokapik31000
re : Exercice - Dérivées - Première 23-02-20 à 18:14

Mais où est a ici ?

Posté par
Yzz
re : Exercice - Dérivées - Première 23-02-20 à 18:15

-x²+64
ax²+bx+c

a = ?

Posté par
Chokapik31000
re : Exercice - Dérivées - Première 23-02-20 à 18:17

a=-1 mais du coup il n'y a pas de bx ?

Posté par
Yzz
re : Exercice - Dérivées - Première 23-02-20 à 18:18

Si... avec b=0

Posté par
Chokapik31000
re : Exercice - Dérivées - Première 23-02-20 à 18:25

Donc il faut enlever le 8, puis calculer x1 et x2, et f' sera du signe de a à l'extérieur des racines et du signe de -à à l'intérieur ?

Posté par
Yzz
re : Exercice - Dérivées - Première 23-02-20 à 18:27

"enlever le 8" ?!?

Ta dérivée est du signe de-x²+64.
-x²+64 = 0 a deux solutions : x = -8 et x = 8.
Il est du signe de a = -1 à l'extérieur des racines :
donc -x²+64 est négatif avant -8 et après 8 , et positif entre-8 et 8.

OK ?

Posté par
Chokapik31000
re : Exercice - Dérivées - Première 23-02-20 à 18:29

Aahh oui d'accord je croyais qu'il fallait calculer x1 et x2 grâce aux formules mais en fait on les avait déjà x1=-8 et x2=8 c'est ça ?

Posté par
Yzz
re : Exercice - Dérivées - Première 23-02-20 à 18:34

Oui.

Posté par
Chokapik31000
re : Exercice - Dérivées - Première 23-02-20 à 18:40

Donc ça donne ça ? Exercice - Dérivées - Première

Posté par
Yzz
re : Exercice - Dérivées - Première 23-02-20 à 18:43

ARRGGGLLLL !!!

Quel est le lien entre le signe de f' et les variations de f ?

Posté par
Chokapik31000
re : Exercice - Dérivées - Première 23-02-20 à 18:46

Bah quand f'(x)>0 f est croissante et quand f'(x) <0 f est décroissante

Posté par
Yzz
re : Exercice - Dérivées - Première 23-02-20 à 18:47

Et sur ton tableau ?

f' : -  puis  +  puis -
f : croissante puis décroissante

Y'a pas comme un malaise ?!

Posté par
Chokapik31000
re : Exercice - Dérivées - Première 23-02-20 à 18:49

Donc elle est décroissante puis croissante puis décroissante ?

Posté par
Chokapik31000
re : Exercice - Dérivées - Première 23-02-20 à 18:50

Mais vu que x1=x2 elle est décroissante tout court ?

Posté par
Yzz
re : Exercice - Dérivées - Première 23-02-20 à 18:51

x1 = x2 ?   tu veux dire que -8 = 8 , c'est bien ça ?

Posté par
Yzz
re : Exercice - Dérivées - Première 23-02-20 à 18:51

Et quel rapport avec "décroissante ?!

Laligne f' de ton tableau est correcte, c'est la ligne "variations de f  " qui ne va pas !

Posté par
Chokapik31000
re : Exercice - Dérivées - Première 23-02-20 à 18:52

Ah non, -8²=8²

Posté par
Yzz
re : Exercice - Dérivées - Première 23-02-20 à 18:52

Ah non, -8²=8²  toujours faux : -8² = -64 et 8² = 64

Posté par
Chokapik31000
re : Exercice - Dérivées - Première 23-02-20 à 18:53

(-8)² pardon

Je vois vraiment pas comment faire la ligne f

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