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Exercice équation 2nd degré

Posté par
Zery 02-01-18 à 10:16

Bonjour !

J'ai un exercice dans un DM qui me pose problème. Je dois résoudre des équations dans R, mais je bloque pour la 3ème, la voici :
\left|\sqrt{4x^2+20x+25} - 7 \right| = 3
Tout d'abord, j'ai transposé pour obtenir \left|\sqrt{4x^2+20x+25} - 7 \right| - 3 = 0

Puis j'ai cherché le signe de 4x^2+20x+25 pour savoir si \sqrt{4x^2+20x+25} existait pour toute valeur de x ou pas.

J'obtiens le tableau suivant :

\begin{array} {|c|cccccc|} x & -\infty & & -\frac{5}{2} & & +\infty & \\ {4x^2+20x+25} & & + & 0 & + & & \end{array}

Donc on reste sur R, pas de valeur interdite.

Ensuite, je m'occupe de la valeur absolue, et là j'ai un doute. Vu que \sqrt{4x^2+20x+25} - 7 est positif sur ]-\infty ; -6]\cup[1;+\infty[ et négatif sur [-6;1], est ce que ce qui suit est correct ?

\left|\sqrt{4x^2+20x+25} - 7 \right| = \sqrt{4x^2+20x+25} - 7 si x\leq -6 ou x \geq 1
                                                     = -\sqrt{4x^2+20x+25} + 7 si -6 \leq x \leq 1







Posté par
carpediemre : Exercice équation 2nd degré 02-01-18 à 10:43

salut

et si tu nous donnais l'énoncé qui conduit à cette équation ?

d'autre part il serait bien de réviser les identités remarquables :: 4x^2 + 20x + 25 = \\ ...

Posté par
lakere : Exercice équation 2nd degré 02-01-18 à 10:43

Bonjour,

Sans préjuger du reste, on peut remarquer que:

   4x^2+20x+25=(2x+5)^2

Posté par
Zeryre : Exercice équation 2nd degré 02-01-18 à 12:50

@carpediem L'énoncé énonce directement l'équation :
"Résoudre dans R les équations suivantes :
a. ....
b. ....
c. \left|\sqrt{4x^2+20x+25} - 7\right|= 3"
Je connais les identités remarquables, c'est juste qu'on nous a bourré le crâne avec les trinômes du second degré que ça devient un réflexe avant même de penser aux identités remarquables ^^

@lake Donc \left|\sqrt{4x^2+20x+25} - 7\right|= 3 \Leftrightarrow \left|\sqrt{(2x+5)^2} - 7\right|- 3 = 0 \Leftrightarrow \left|2x-2\right|- 3 = 0
\left|2x-2\right| = 2x-2  si  x \geq 1
                    = -2x+2  si  x\leq 1

Donc 1er cas : 2x-2-3 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{5}{2}
2e cas : -2x+2-3 = 0 \Leftrightarrow x = -\frac{1}{2}

Donc j'ai 2 solutions, sauf que j'ai dû rater un truc, car quand je trace la fonction de départ, je trouve 4 solutions et non pas 2, j'ai raté une étape ?

Posté par
lakere : Exercice équation 2nd degré 02-01-18 à 12:52

Non:

|\sqrt{4x^2+20x+25}-7|=3\Longleftrightarrow ||2x+5|-7|=3

Posté par
Zeryre : Exercice équation 2nd degré 02-01-18 à 12:57

Heu... Pourquoi on rajoute une valeur absolue ? On n'a jamais vu ça...

Posté par
lakere : Exercice équation 2nd degré 02-01-18 à 12:58

Que vaut \sqrt{X^2} ?

Posté par
Zeryre : Exercice équation 2nd degré 02-01-18 à 13:02

Tout simplement \sqrt{x^2} = x

Posté par
lakere : Exercice équation 2nd degré 02-01-18 à 13:03

Que donne ton égalité pour x=-1 ?

Posté par
Zeryre : Exercice équation 2nd degré 02-01-18 à 13:08

Ah c'est bon je viens de comprendre : \sqrt{x^2} = x = \left|x \right| et donc \sqrt{x^2} = \left|x \right|

Posté par
lakere : Exercice équation 2nd degré 02-01-18 à 13:11

Plus exactement:

   si X\geq 0,    \sqrt{X^2}=X

  si X<0,    \sqrt{X^2}=-X

qui se résume en \sqrt{X^2}=|X|

Bref, dans ton exercice, \sqrt{(2x+5)^2}=|2x+5|

et tu auras tes 4 racines.

Posté par
lakere : Exercice équation 2nd degré 02-01-18 à 13:23

Une dernière chose; je vois ceci:

  

Citation :
\left|2x-2\right| = 2x-2  si  x \geq 1
                    = -2x+2  si  x\leq 1

Donc 1er cas : 2x-2-3 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{5}{2}
2e cas : -2x+2-3 = 0 \Leftrightarrow x = -\frac{1}{2}


Il est plus pratique d'écrire:

Si a\geq 0
   |X|=a\Longleftrightarrow \begin{cases}X=a\\\text{  ou}\\X=-a\end{cases}

Posté par
Zeryre : Exercice équation 2nd degré 02-01-18 à 15:06

C'est bon, j'ai trouvé les solutions : S=\left\{-\frac{15}{2};-\frac{9}{2};-\frac{1}{2};\frac{5}{2} \right\}

Merci beaucoup pour votre aide !

Posté par
lakere : Exercice équation 2nd degré 02-01-18 à 15:07

Très juste et de rien Zery


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