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Exercice fonction ln et suites
Bonjour,
Un exercice me pose problème, je ne sais pas comment je dois démarrer. Voici l'énoncé :
Chaque semaine, un agriculteur propose en vente directe à chacun de ses clients un panier de produits frais qui contient une seule bouteille de jus de fruits en verre, qu'il demande de rapporter une fois vide. On suppose que le nombre de clients de l'agriculteur reste constant.
Une étude statistique montre les résultats suivants :
- à l'issue de la première semaine, la probabilité qu'un client rapporte la bouteille
de son panier est de 0.9 ;
- si le client a rapporté la bouteille, alors la probabilité qu'il ramène la bouteille la
semaine suivante est de 0.95 ;
- si le client n'a pas rapporté la bouteille de son panier une semaine, alors la
probabilité qu'il ramène la bouteille la semaine suivante est de 0.2
On choisit au hasard un client parmi la clientèle de l'agriculteur. Pour tout entier n
non nul, on note R_n l'événement "le client rapporte la bouteille de son panier la n-ième
semaine". On note r_n = P(R_n)
1. Justifier que pour tout entier naturel n non nul, r_n+1 = 0.75r_n + 0.2
2. Démontrer que que, pour tout entier naturel n non nul : r_n = 0.1*0.75^(n-1) + 0.8
3.a. Écrire un algorithme qui permet de déterminer le plus petit rang n à partir duquel
tous les termes de la suite sont inférieurs à 0.80001.
b. Retrouver ce résultat par le calcul et l'interpréter dans le contexte de l'exercice.
1. Je ne sais pas comment commencer, je n'ai pas compris ce que l'on me demande. J'ai
besoin de quelques explications.
2. Je n'y ai pas encore réfléchi, mais je pense que l'on peut résoudre cette question par un récurrence.
Je n'ai pas fait la suite, il me faut un petit coup de pouce pour commencer. Merci !
La question 1 est une question de compréhensnion du texte et de mise en forme mathématique du problème
D'après le texte, comment exprimer en fonction de
?
2) Oui, c'est bien un raisonnement par récurrence qu'il faut faire
Pour la 1. : faut-il pour cela utiliser la loi binomiale ?
2. On ne donne pas la valeur r_0 dans l'énoncé, faut-il utiliser la question précédente ?
Je sens que ça va être long, les question me semblent n'avoir rien à voir avec l'énoncé...
Salut !
Pour la 1., non pas de loi binomiale ! Simplement comprendre le texte. Sachant que le client a rapporté la bouteille à l'issue de la semaine n, quelle est la probabilité qu'il la rapporte à nouveau la semaine n+1 ? Lis bien...
Si, si, les questions ont bien quelque chose à voir avec l'énoncé 
Si tu bloques vraiment, je te conseille de te renseigner au sujet des suites dites "arithmético-géométriques" 
1. P(R_n+1) = 0.95 ?
Nous avons déjà travaillé un peu là-dessus, mais je n'arrive pas à voir le lien que ça a avec un énoncé contenant des probabilités...
Pour la 1. : Je n'y arrive pas, je passe à la suite.
2. Pour tout n ∈ ℕ, on note P(n) la propriété r_n = 0.1*0.75^(n+1) + 0.8
Initialisation : pour n = 0 : r_0 = 0.9 et 0.1*0.75^0 + 0.8 = 0.1 + 0.8 = 0.9
donc P(0) est vraie.
Hérédité : On suppose qu'il existe n ∈ ℕ tel que P(n) soit vraie. Ainsi :
r_n = 0.1*0.75^(n+1) + 0.8 d'après l'hypothèse de récurrence.
0.75r_n = 0.75(0.1*0.75^(n+1) + 0.8) car 0.75 > 0
0.75r_n + 0.2 = 0.75(0.1*0.75^(n+1) + 0.8) + 0.2
r_n+1 = 0.1*0.75^(n+2) + 0.8 ainsi P(n+1) est vraie.
Conclusion : P(0) est vraie et la propriété est héréditaire donc P(n) est vraie pour tout n ∈ ℕ.
3. a. Faut-il faire quelque chose qui fonctionne peu importe le seuil donné ou bien seulement pour un seuil valant 0.80001 ?
Si R_n est vérifié, alors il y a une probabilité 0.95 que R_{n+1} soit vérifié
Mais si R_n n'est pas vérifié, il y a une probabilité 0.2 que R_{n+1} soit vérifiié
donc
pour la 3), c'est comme tu veux, dans tous les cas ce sera le même programme, il faudra juste rajouter une ligne au début.
Cela concerne la question 1 ou la question 2 ?
Pour la question 2, je viens de me rendre compte que j'ai lu 0.75^(n+1) au lieu de 0.75^(n-1). Donc je dois recommencer.
3.a. : J'ai choisi d'utiliser Python.
def suite_r(seuil) :
r = 0.9
n = 0
while r >= seuil :
r = 0.75*r + 0.2
n+=1
return n
Pour seuil = 0.80001, on trouve n = 33.
Pour la 2. :
2. Pour tout n ∈ ℕ, on note P(n) la propriété r_n = 0.1*0.75^(n-1) + 0.8
Initialisation : pour n = 1 : r_1 = 0.9 et 0.1*0.75^0 + 0.8 = 0.1 + 0.8 = 0.9
donc P(1) est vraie.
Hérédité : On suppose qu'il existe n ∈ ℕ tel que P(n) soit vraie. Ainsi :
r_n = 0.1*0.75^(n-1) + 0.8 d'après l'hypothèse de récurrence.
0.75r_n = 0.75(0.1*0.75^(n-1) + 0.8) car 0.75 > 0
0.75r_n + 0.2 = 0.75(0.1*0.75^(n-1) + 0.8) + 0.2
r_n+1 = 0.1*0.75^(n) + 0.8 ainsi P(n+1) est vraie.
Conclusion : P(1) est vraie et la propriété est héréditaire donc P(n) est vraie pour tout n ∈ ℕ.
3.a.
def suite_r(seuil) :
r = 0.9
n = 0
while r >= seuil :
r = 0.75*r + 0.2
n+=1
return n
Pour seuil = 0.80001, on trouve n = 33.
b. r_n >= 0.80001
⇔ 0.1*0.75^(n-1) + 0.8 >= 0.80001
⇔ 0.1*0.75^(n-1) >= 0.00001
⇔ 0.75^(n-1) >= 0.0001
⇔ ln(0.75^(n-1)) >= ln 0.0001 car la fonction ln est croissante sur ]0 ; +∞[
⇔ (n-1)ln 0.75 >= ln 0.0001
⇔ n - 1 >= (ln 0.0001) / ln 0.75
⇔ n >= (ln 0.0001) / (ln 0.75) + 1
⇔ n >= 33 car (ln 0.0001) / (ln 0.75) + 1 ≈ 33
1. Je n'ai toujours pas compris, mais j'espère que la suite est juste.
Le 2 et 3, ça m'a l'air bien
Revenons sur la 1
Ce qu'on sait d'après l'énoncé :
D'après la formule des probabilités totales, tu sais que
Bon, je crois que je vais arrêter là, je ne vois toujours pas comment m'y prendre pour répondre. Tant pis s'il manque une question ; je dois rendre ce travail demain
Je t'assure que le résultat est tout bête, il faut écrire les choses
On cherche une relation entre et
qu'on note, pour plus de simplicité, respectivement
et
Mais la relation, je te l'ai donnée : c'est exactement l'application des probabilités totales
il reste juste à réécrire les nombres fixes, et les choses qu'on ne connaît pas, et
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