Bonsoir

Je te propose une méthode (ce n'est sûrement pas la seule ni peut-être
la meilleure) :

x² + y² - 4x - 6y +9=(x-2)²+(y-3)²-4
Donc le cercle (C) est le cercle de centre A(2;3) et de rayon 2.
Soit M(x;y) le point du cercle tel que une tangente à (C) passe par M.
AM et u(1;1) (car la tangente est parallèle à y=x) doivent être orthogonaux.
AM(x-2;y-3) et (1;1)
AM.MM'=x-2+y-3=0 donc y=-x+5
x²+(25-10x+x²)-4x+6x-30+9=0
2x²-8x+4=0 soit x²-4x+2=0
On en déduit x puis y. D'où les coordonnées du point M.
En écrivant p=yM-XM, on en déduit l'équation des tangentes y=x+p.

@+

oula, je suis désolé victor mais je ne comprend pas tout très bien
:
d'où vient le vecteur unitaire   et le scalaire AM.MM'
?
(merci quand même de ta réponse!)

Autrement mais pas mieux:

x² + y² - 4x - 6y + 9 = 0
(x-2)² + (y-3)² = 4
(y-3)² = 4 - (x-2)²
y - 3 = +/- V(4 - (x-2)²)    avec V pour racine carrée.
y = 3 +/- (4 - (x-2)²)

a) On ne considère que la partie supérieure du cercle.

y = 3 + V(4 - (x-2)²)
f(x) = 3 + V(4 - (x-2)²)

f '(x) = -(x-2)/V(4 - (x-2)²)

Comme la tangente est // à la droite d'équation y = x, on a f '(X)
= 1 avec X l'abscisse du point de tangence.

-(X-2)/V(4 - (X-2)²) = 1

-(X-2) = V(4 - (X-2)²)
et X <= 2

(X-2)² = (4 - (X-2)²)
2(X-2)² = 4
(X-2)² = 2
(X-2) = +/- V2
X = 2 +/- V2  mais comme X <= 2 -> X = 2 - V2

f(2-V2) = 3 + V(4 - (2-V2-2)²) = 3 + V2
Equation de la tangente:
(y - 3 - V2) = (x - 2 + V2).1
y = x - 2 + V2 + 3 + V2
y = x + 1 + 2V2 (Equation de la tangente à la partie supérieure du
cercle et // à la droite d'équation y = x )
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b) On ne considère que la partie inférieure du cercle.

y = 3 - V(4 - (x-2)²)
f(x) = 3 - V(4 - (x-2)²)

f '(x) = (x-2)/V(4 - (x-2)²)

Comme la tangente est // à la droite d'équation y = x, on a f '(X)
= 1 avec X l'abscisse du point de tangence.

(X-2)/V(4 - (X-2)²) = 1

(X-2) = V(4 - (X-2)²)
et X >= 2

(X-2)² = (4 - (X-2)²)
2(X-2)² = 4
(X-2)² = 2
(X-2) = +/- V2
X = 2 +/- V2  mais comme X >= 2 -> X = 2 + V2

f(2+V2) = 3 - V(4 - (2+V2-2)²) = 3 - V2
Equation de la tangente:
(y - 3 + V2) = (x - 2 - V2).1
y = x - 2 - V2 + 3 - V2
y = x + 1 - 2V2   (Equation de la tangente à la partie inférieure du
cercle et // à la droite d'équation y = x )
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Groupement des résultats:
Les équations des tangentes cheerchées sont:

y = x + 1 + 2V2
et
y = x + 1 - 2V2
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Sauf distraction.  

voila j'aimerai que vs m'expliqiez un peu plus la solutionnde
victor car l'autre solution est vraiemtn trop compliqué je pige
rien
pourquoi AM et u doivent-ils etre orthogonaux??
et je ne comprend pas non le produit scalaire AM.MM'(dailleurs
c koi ce point M'???)
donc voila si vs pouviez devellopé un peu plus le calcul de vicor ca serait
sympa