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Exercice : Logique et raisonnements
Bonjour,
J'ai besoin d'aide dans cet exercice de logique:
1)
Soit de nombres différents deux à deux de l'ensemble
tel que
est un nombre impair.
Démontrer par absurde qu'il existe un entier naturel de
tel que
est un nombre pair.
2)
On dissocie l'ensemble en deux parties
et
tel que :
et
.
Démontrer que : .
Voilà ce que j' avais fait en 1):
1) Si je comprends bien les sont une permutation de l' ensemble
Si tous les sont impairs,
est une somme de
(impair) nombres impairs (positifs ou négatifs) qui ne peut être nulle.
Je dois quitter aussi...
Ta solution est plus élégante que la mienne !!! ...comme d'hab d'ailleurs,...... même si la mienne est basée sur les principes de la parité comme la tienne..
A+
Moi, je suis parti du fait que :
- La différence entre deux nombres ne peut être impaire que si les deux nombres sont de parités différentes
- Comme n est impair, l'ensemble de 1 à n, c'est-à-dire l'ensemble des k et celui des ak, comporte un nombre impair de plus que de nombres pairs.
Donc, si je veux faire apparaître que des différences impaires, je vais associer un k et un ak de parités différentes. Mais au dernier choix, comme le nombre de valeurs impaires est supérieur à celui des valeurs paires, il me restera impérativement deux nombres impairs, donc de différence paire.
Mais on sent moins le côté "démonstration par l'absurde"..qu'avec ta solution.
Pour la question 2), j'ai considéré que toutes les positions étaient obtenues :
- en partant de la solution initiale (a1,a2,a3,b3,b2,b1)= (1,2,3,4,5,6)
avec S=|a1-b1|+|a2-b2|+|a3-b3|=|1-6|+|2-5|+|3-4|=5+3+1=9
- en effectuant des inversions ai--> bj. (pas d'inversion ai--> aj ou bi--> bj, car l'ordre des ai et des bi est fixé)
Regardons l'impact sur S de ces inversions :
- si i=j, l'inversion ne touche que ai-bi qui devient bi-ai, donc |ai-bi| reste constant, et S n'est pas modifié.
- Si i<j, la configuration est donc telle que aj et bi sont à droite du lieu de l'inversion. Donc si le sens de l'inversion ai,bj --> bj,ai, alors |ai-bi| diminue de 1 et alors |aj-bj| augmente de 1. Et l'inverse si le sens est bj,ai-->ai,bj
Donc S n'est pas modifié.
- Si i>j, la configuration est donc telle que aj et bi sont à gauche du lieu de l'inversion. Par le même raisonnement on démontre que S n'est pas modifié.
Donc dans tous les cas, toutes les inversions ai, bj ne modifient pas S qui reste égal à 9.
Oui, c' est tout à fait juste pour 2) 
Une autre solution:
On s' occupe de la répartition de 4 des 6 nombres entre 4 et 6 inclus. Il y a 3 répartitions possibles compte tenu de l' ordre des
et
et du fait qu' il y a toujours un couple
dont les deux éléments sont supérieurs ou égaux à 3 :
- Soit et
sont compris entre 4 et 6. (Cas où
et
sont supérieurs ou égaux à 3)
- Soit et
sont compris entre 4 et 6. (Cas où
et
sont supérieurs ou égaux à 3)
- Soit et
sont compris entre 4 et 6. (Cas où
et
sont supérieurs ou égaux à 3)
Si on pose maintenant et
, on a dans les 3 cas précédents:
et
Du coup
Une erreur:
On s' occupe de la répartition de 4 des 6 nombres
De rien pour moi Chamsi68
salut
un exercice intéressant ....
soit E le sous-ensemble de A des entiers k tels que ak est impair
soit F le sous-ensemble de A des entiers k impairs
alors |E| + |F| = |A| + 1
donc il existe un entier k tel que k et ak sont impairs
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
avec
et
qq remarques :
n'est ni 5 ni 6
n'est ni 1 ni 2
de même et
ouais bof ... faut voir ...
il y a trois nombres pairs et trois nombres impairs donc au moins une différence est impaire et :
une différence est impaire et les deux autres sont paires ou les trois différences sont impaires
ces différences sont parmi 1, 2, 3, 4 et 5 et ne peuvent être ni toutes les trois 5 ni toutes les trois 1
ouais faut voir ...
to be continued ...
PS: je voulais essayer de porposer une solution alternative aux deux excellentes solutions de lake et Nofutur2 ...
Bonsoir,
Un peu réchauffé pour le 1), mais je trouve dommage de faire compliqué quand on peut faire simple.
L'énoncé demande une démonstration par l'absurde.
A = {1,2,3,...,n} . L'entier n est impair ; donc n = 2p+1 avec p entier.
Dans A , il y a p+1 entiers impairs et p entiers pairs.
Idem pour les n nombres ak : p+1 d'entre eux sont impairs, et les p autres sont pairs.
Si aucun ak - k n'est pair, alors tous les ak - k sont impairs ; donc tous les ak ont une parité différente de celle de k .
En particulier si k est impair alors ak est pair.
Les p+1 nombres ak avec k impairs sont donc pairs ; ça en fait un de trop.
Ce raisonnement n'est pas très différent de ceux de Nofutur2 et carpediem, mais me semble plus élémentaire. De plus il fait apparaître clairement le raisonnement par l'absurde.
je me méfie de ces injonctions "à l'aide d'un raisonnement par l'absurde ..." et je ne vois pas l'intérêt d'introduire artificiellement de l'absurde (autre que le prof n'a pas trouvé autrement !!!)
un exercice intéressant ....
soit E le sous-ensemble de A des entiers k tels que ak est impair
soit F le sous-ensemble de A des entiers k impairs
alors |E| + |F| = |A| + 1
donc il existe un entier k tel que k et ak sont impairs
si |A| = n = 2p + 1 alors |E| = |F| = p + 1 donc E et F ne sont pas disjoints ...
ton raisonnement n'est pas plus élémentaire ... mais plus détaillé bien qu'il dise exactement la même chose que moi ...
je reste positif et tu es négatif (
) (des affirmations : si ... alors ... qui introduisent artificiellement le raisonnement par l'absurde)je ne vois pas l'intérêt d'introduire artificiellement de l'absurde (autre que le prof n'a pas trouvé autrement !!!)
C'est vrai que je me contente de préciser le cardinal p+1 de tes ensembles E et F .
Autre présentation sans absurde :
Il y a p+1 nombres ak qui sont impairs.
Il n'y a que p indices pairs.
Donc au moins un des ak impairs a un indice impair. Sa différence ak-k est paire.
Mais là ça ressemble vraiment au raisonnement de Nofutur2
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