Bonjour Khoulassa et bienvenue

Nous attendons tes premières recherches conformément à

extrait de la FAQ du forum :

Q01 - Que dois-je faire avant de poster une question ?

Plusieurs choses sont à faire avant d'envisager de poser une question sur le forum.

Tout d'abord, réellement chercher à résoudre seul votre problème. En effet, le but du forum n'est pas de faire les exercices à votre place.

Cherchez également si votre question n'a pas déjà été posée sur le forum. Pour cela vous pouvez utiliser le moteur de recherche (en panne pour le moment) ou le net en tapant quelques mots clés, par exemple, le début de votre énoncé.

Vous pouvez aussi parcourir le forum en choisissant une classe spécifique (de la sixième au supérieur) dans la page de choix du forum. Vous trouverez certainement un exercice déjà posté et corrigé qui ressemblera fortement au vôtre.

Enfin, vous pouvez également consulter les fiches du site se rapportant à votre chapitre. Parfois une simple relecture de celles-ci vous permettra de vous rappeler d'une définition, d'une propriété, d'une condition d'application d'une loi (données, hypothèses, ...), d'une méthode oubliée, etc.

Somme toute, n'envoyez pas le sujet d'un exercice sans montrer que vous y avez travaillé sérieusement.

extrait de la FAQ du forum :

Q12 - Dois-je forcément indiquer mon niveau lorsque je poste un nouveau sujet ?

Oui, indiquer son niveau (dans son profil) et celui du problème est obligatoire lorsqu'on pose une question.

Un correcteur pourra ainsi facilement juger s'il est en mesure de vous aider ou non. En l'absence de cette précision, aussi bien sur votre profil que sur le forum dans lequel le sujet est publié, il risque moins de vous indiquer une méthode que vous n'avez pas encore vue en classe, etc.

De même, si vous êtes élèves dans un pays francophone, vous pouvez consulter les équivalences des systèmes de niveaux scolaires afin de choisir le niveau de la classe française correspondant à votre classe. Cela permet au correcteur d'intégrer le fait que votre niveau scolaire ne correspond pas forcément à celui stipulé dans les programmes français en vigueur.

Il est de même demandé aux aidants de renseigner leur profil, ce qui en général donne une bonne indication du niveau de l'aide apportée.

Bonjour
comme je l'ai mentionner dans le sujet il s'agit d'un exercice pas comme les autres que j'ai cherché longtemps la solution avant de demander de l'aide.
En ce qui concerne la différence entre mon niveau et le "niveau" de l'exercice: au fait c'est un exercice proposé par l'un de mes élèves car je suis un prof des maths.
j'attend avec impatience  votre réponse.

Bonjour tout le monde
Je pense que c'est trop dure 😫
Et si on commence par un cas particulier


et


que ce que vous en pensez ?

Salut
Ton exercice est bien plus simple que tu le pense, procéde par reccurence sur n.
Si n =2, ça se vérifie facilement,
Ensuite exprime la somme |xi-yi|. Pour i compris entre 1 et n+1

Bonjour,
@flight,
Je la sens pas bien la récurrence.

@Khoulassa,
Dans ton cas particulier, on a bien la somme égale à n².
Je crois avoir déjà rencontré cet exercice.
Voir les échanges entre des x et des y qui ne changent pas la somme ?
D'autres intervenants auront peut-être des souvenirs plus précis.

bonjour,

je ne sens pas la récurrence non plus..
sans conviction, une piste :  
        

puisque les xi et yi sont tous différents deux à deux, toutes les valeurs de l'ensemble E sont concernées, les x en representent la moitié, les y l'autre moitié.
je pose
    

puis en exprimant
      et       en fonction de n, on doit pouvoir aboutir ...

Bonjour Leile
Si tu poses , ça revient à
1 < 2 < ... < n < n+1 < n+2 < .... < 2n .

Par ailleurs il y a une valeur absolue dans la somme.

bonjour

une idée à mettre en forme mais qui, à mon avis peut donner la solution...

quand on range dans l'ordre (strictement) croissant les x_i et les y_i et que y_n n'est pas en premier (=1), on a une configuration du genre

x₁ < x₂ < ... < x_k < y_n < ...

avec tous les entiers de1 à 2n présents une fois et une seule

en permutant x_k et y_n on s'aperçoit que la somme des |x_i - y_i| ne change pas car seuls |x_n- y_n| et |x_k-y_k| sont modifiés, l'un augmentant de 1 et l'autre diminuant de 1.

en reproduisant le processus sur les y_i de proche en proche (à mettre en forme ), la somme cherchée est la même que si

y_n1
...
y₁=n
x₁=n+1
...
x_n=2n

d'où le résultat

du moins il me semble

bonjour Sylvieg,

oui, c'est exactement  ça :
1 < 2 < ... < n < n+1 < n+2 < .... < 2n ,     les y sont les n premiers, les x sont les suivants.
ce qui fait que la somme des y est la somme des n premiers entiers consécutifs,
et la somme des x = somme des 2n premiers entiers consécutifs - somme des y


j'ai vu la valeur absolue : je pensais y revenir ensuite (si on aboutit par exemple à   -n² comme résultat.. ).
ensuite on vérifiera que si on intervertit deux valeurs (un x et un y), cela ne change rien..

et si on suppose l'egalité de l'énoncé vraie:

|xi - yi|  pour i compris entre 1 et n+1 = |x_n+1-y_n+1| + |xi - yi|   pour i compris entre 1 et n
avec x_n+1 =2n+2   et y_n+1=1   ca donne  

|xi - yi|  pour i compris entre 1 et n+1 =  2n + 2-1 + n² = n² +2n+1 =(n+1)²

non ?

flight,
j'aime bien  ta solution très élégante. J'ai eu tort de ne pas avoir été au bout de la récurrence.

flight

qui te dit que x_n+1=2n+2 et que y_n+1=1 ??????

Leile

la récurrence de flight présuppose quelque chose dont on n'est absolument pas sûr

Et si x_n+1 2n+2 ou y_n+1 1 ?

Bonjour matheuxmatou

j'ai  y_n+1  est plus petit que tout les autre dans E et donc c'est forcement 1
x_n+1  est plus grand que tout les autres et dans E c'est donc 2(n+1)=2n+2

bonjour Sylvieg

la récurrence de flight peut fonctionner avec un gros travail supplémentaire... par exemple, avec ma méthode exposée à 10:43 en ramenant y_n+1 en première position et y₁ en dernière position... mais c'est à rédiger proprement

flight

mais qui te dit que y_n+1 est plus petit que tous les x_i ???????

x1 < x2 < ......x_n+1

y_n+1 < y_n <.......< y₁

m'enfin flight ...

et si x₁ = 1 ; x₂ = 2 et y_n+1=3 ???????

Une remarque :

et .

Donc ou et ou .

j'ai simplement fais de la dissociation matheuxmatou , sur les xi et les yi , j'ai consideré que les xi et les yi n'etaient pas liés

sur les xi  (indépendamment des yi) j'ai juste observé la regle  x1 < x2 < ......<x_n+1
et  sur les yi j'ai fais de meme

apres toutes vos suggestions me placent en doute , mais en meme temps ma reccurence à l'air de donner quelque chose qui serait dison plus "attendu" ....(on est en premiere pour ce post ... il faut pas chercher des trucs de sorcier je pense )

flight

là je sais plus quoi dire !!!!!

simplement tu ajoutes un hypothèse non formulée... ta démonstration ne fonctionne pas telle que tu l'as écrite...  mais peut fonctionner via ma remarque de 10:43

et je ne comprends pas ce que tu appelles "dissociation" ... car si tel est le cas faut prouver que la somme ne change pas quand on échange des x et des y ... et dans ce cas pas la peine de s'enquiquiner avec une récurrence et le faire directement ...

flight

le niveau d'étude du posteur est "master" ...

salut

ça fait un petit moment que je réfléchis à ce pb mais je n'étais pas intervenu car n'ayant pas d'idée convaincante ...

j'avais la même idée que matheuxmatou mais le rangement des deux suites dans l'ordre croissant est beaucoup plus compliqué que le seul cas qu'il présente ...

et il ne me semble pas que ça augmente et diminue que de 1 et -1 mais de p et -p avec p compris entre 1 et 2n - 1 ...


une autre idée qui est dans la même veine :

auparavant la notation de la suite (y_i) est malheureuse ... car perturbante

soit (x_i) et (y_i) deux suites quelconques strictement croissantes de n éléments de E = {1, 2, ..., 2n} donc :

on veut que

puisqu'on prend la valeur absolue cela signifie qu'on obtient la même somme qu'avec les suites (u_i) et (v_i) définie par :

mais cette fois-ci on n'a plus besoin de valeur absolue et les suites (u_i) et (v_i) ne sont plus strictement croissantes ...

un exemple avec n = 5 :

x_i = 2  4  7  9  10   et   y_i = 1  3  5  6  8



u_i = 8  6  7  9  10   et  v_i = 1  3  5  4  2



et on vérifie/remarque que

tout revient donc à montrer que :

si (x_i) est une suite quelconque à valeur dans {n +1, n+ 2, ..., 2n} et (y_i) une suite quelconque à valeur dans {1, 2, ..., n} alors

or considérons deux rang p et q de ces suites : il est évident que

ou encore et puisque l'addition est commutative cela ne dépend pas des suites (x_i) et (y_i)

or et donc

une dernière remarque en prenant cette suite particulière et en calculant la somme des différences on retrouve la somme des entiers impairs de 1 à 2n - 1 soit la suite arithmétique de premier terme 1 et de raison 2

donc

carpediem

il n'est donc pas limitatif de supposer que y_n = 1

* mais de 2 à 2n+1

effectivement merci d'avoir pointé en rouge ce que je n'avais pas tilté ...

et effectivement si y_n = 1 on réitère le processus avec le suivant ...

en fait ma démo (à partir de mon/ton idée ) généralise ta situation particulière ...

moi ensuite j'ai recollé avec la récurrence de flight pour lui faire plaisir

mais elle est loin d'être aussi immédiate qu'il le disait quand on veut la rédiger proprement

je ne comprends pas et il ne me semble pas avoir fait d'erreur : mes x_i et y_i sont toujours à valeur dans {1, ..., 2n}

1/ je prends deux suites (x_i) et (y_i) de n éléments dans {1, ..., 2n} (la donnée de l'une me donne la donnée de l'autre)

2/ je montre (et c'est la que nous avons la "même" idée) que c'est la même somme si on permute les éléments de la suite x inférieurs à n avec les éléments de y supérieur à n + 1 (permutation rang à rang (même pas nécessaire vu le point 3/) à cause de la valeur absolue)

3/ je montre ensuite que la somme des différence est indépendante de l'ordre des suite x et y (cette fois à valeurs dans {n + 1, ..., 2n} et dans {1, ..., n} (car une "somme de différences est la différence des sommes")

je conclus en calculant cette somme dans un cas particulier puisque c'est indépendant du choix des suites ....

... et je ne vois pas où ça varie de 2 à 2n + 1 ...

ben quand il passe à l'étape n+1 avec les même hypothèses sur les deux suites, les termes varient de 1 à 2n+2

mais comme on peut supposer sans limiter que y_n+1 vaut 1, les autres commencent bien à 2

(même chose pour la fin puisqu'on se ramène à x_n+1=2n+2)

à pardon je pensais que tu t'adressais à moi ...

non, je parlais de la "démo" de Flight... de sa récurrence

Bonjour tout le monde
je crois que cet exercice est vrai casse tête !
comme j'ai dis au début je crois qu'il faut commencer par le cas particulier :



ensuite il faut faire une simple permutation d'un élément de la suite avec un autre élément de la suite

enfin généraliser !

Khoulassa

tu lis nos messages ??????

Bonsoir,

Carpediem donne une bonne piste.
Si on range les différences en les ordonnant sur le terme en x croissant, cela revient à mettre en moins les termes en y décroissant.
Si maintenant on intervertit x et y dans les différences négatives, on obtient des différences toutes positives dont les x vont de n+1 à 2n et les y de n à 1 et il n'y a plus besoin de valeurs absolues.
Or somme de n+1 à 2n vaut n(3n+1)/2 et somme de 1 à n vaut n(n+1)/2
La différence vaut bien n²

bonjour vham,
c'est ce à quoi je pensais en écrivant
      

puisque les xi et yi sont tous différents deux à deux, toutes les valeurs de l'ensemble E sont concernées, les x en representent la moitié, les y l'autre moitié.
je pose
    

puis en exprimant
      et       en fonction de n, on doit pouvoir aboutir ...


, sans l'avoir vérifié...
mais c'est surtout le manque de réaction de Khoulassa quiest décevant..