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Exercice Première
Bonjour,
J'ai besoin d'aide pour résoudre cet exercice :
On donne la définition d'un nombre "extraordinaire":
- C'est un nombre entier positif
- Aucun des chiffres qui le composent n'est nul
- Il s'écrit avec des chiffres tous différents
- Il est divisible par chacun d'eux
1. Proposer deux nombres extraordinaire à deux chiffres.
2. Proposer un nombre extraordinaire à quatre chiffres.
3. Soit n un entier extraordinaire s'écrivant avec un 5.
a) Démontrer que 5 est le chiffre de ses unités.
b) Démontrer que tous les chiffres de n sont impairs.
c) Démontrer que n s'écrit avec au plus quatre chiffres.
d) Démontrer le plus grand entier extraordinaire s'écrivant avec un 5.
4. Soit n un entier extraordinaire quelconque.
a) Démontrer que n s'écrit avec au plus sept chiffres.
b) Si n s'écrit avec sept chiffres, dont un 9, déterminer les chiffres de n.
5. Déterminer le plus grand entier extraordinaire.
J'ai donc essayé de résoudre l'exercice par mes moyens et j'ai trouvé :
1. Les nombres 36 et 24 sont des nombres extraordinaires à 2 chiffres.
2. Le nombre 2436 est un nombre extraordinaire à 4 chiffres.
3. a) Le chiffre de ses unités est 5 car un nombre n'est divisible par 5 seulement si il se termine par 0 ou 5 or le nombre n n'est pas composé d'un chiffre nul (0).
b) Les chiffres de n sont impairs car n finit par 5 et un nombre impair finissant par 5 ne peut pas être divisible par un nombre pair.
c) (?)
d) (besoin de c)
4) a) (?)
b) (?)
5) (?)
Merci d'avance pour votre aide.
Pour la c) On sait que tous les nombres sont divisibles par 1, que si un nombre est divisible par 9, il est divisible par 3. Le 7 semble poser problème mais je n'arrive pas à trouver pourquoi ni à répondre à la question.
Je viens de comprendre ! Un nombre est divisible par 3 seulement si la somme des chiffres qui le composent est divisible par 3 or ici 1+3+5+7+9= 25 et 25 n'est pas divisible par 3 ! Donc, un nombre constitué de ces 5 chiffres impairs ne peut être divisible par 3 et donc s'écrit avec au plus quatre chiffres.
Par contre la suite, je comprends pas ! J'ai essayé une multitude de nombre mais aucun ne marche !
J'ai donc trouvé pour le 3. d) 9315
Pour le 4. a) On a comme chiffres 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9 On retire le 0 car le nombre ne comprend pas de chiffre nul, il nous reste donc 1;2;3;4;5;6;7;8;9 soit 9 chiffres, il faut en éliminer deux autres... Si on additionne les 9 chiffres on trouve 45 donc sa n'explique rien car c'est divisible par 3 et 9.
Quelqu'un peut-il me mettre sur la voie pour le reste ?
Compris merci !
Non, si il possède un 5, il finira par 5 et ne sera pas divisible par 2 et le nombre sera composé de nombre impairs !
Donc il nous resterait que le 1;3;5;7;9 soit 5 chiffres et non pas 7. On peut donc éliminer le 5 et cela réduit le champs à 8 nombres ! Si on les additionne, on trouve 40 qui est non divisible par 3 donc on ne peut pas avoir 8 chiffres. Cela réduit le champ à 7 !
Comment je détermine le plus grand pour la 5 ? Je dois tous les essayer ?
Pour le 4 b)
On sait que le chiffre 9 ne sera pas à la fin du nombre car sinon, il ne sera pas divisible par 2.
On sait que la somme de ses chiffres sera égale à un nombre divisible par 3.
On sait qu'il n'est pas composé d'un 5.
Que dire de plus pour répondre à la question car là, sa ne fait pas avancer le "schmilblick"
Merci d'avance
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