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exercice probabilité conditionnelle
Bonjour (et Bonne Année!)
J'ai fait cet exercice, et j'aimerais savoir si c'est correct. (Je n'ai pas bien compris les 2 derniers questions... 
) Pouvez vous m'aider s'il vous plait? En particulier pour la rédaction qui est mon point faible je dois dire...
Merci beaucoup !!
Voici l'énoncé :
On note PA(B) la probabilité conditionnelle de l'événement B sachant que l'évenement A est réalisé.
Une urne contient 4 boules rouges et 2 boules noires indiscernables au toucher.
1) On effectue au hasard un tirage sans remise de deux boules de l'urne.
On note A0 l'événement "on n'a obtenu aucune boule noire"
On note A1 l'événement "on a obtenu une seule boule noire"
On note A2 l'événement "on a obtenu deux boules noires"
Calculer les probabilités de A0, A1, A2
--> Alors pour ceci j'ai fait un arbre pondéré
Avant d'écrire la suite, j'aimerais savoir si ce que j'ai fait est correct
Merci beaucoup
Bonjour,
Ton arbre est bon. Attention à ce que tu as écrit tout à fait à droite de l'arbre proprement dit.
Tu vois qu'il y a deux manières d'obtenir une seule boule noire.
Donc P(A1) = (4/15) + (4/15) = 8 / 15
P(A0) et P(A2) sont bons.
Merci beaucoup
Alors pour la suite:
2) Après ce premier tirage, il reste donc 4 boules dans l'urne
On effectue à nouveau au hasard un tirage sans remise de deux boules de l'urne.
On note B0 l'événement "on a obtenu aucune boule noire au tirage n°2"
On note B1 l'événement "on a obtenu une seule boule noire au tirage n°2"
On note B2 l'événement "on a obtenu deux boules noires au tirage n°2"
Calculer PA0(B0), PA1(B0), PA2(B0)
--> Commençons par A0
Suite à ce premier tirage, il reste 2 boules rouges et 2 boules noires (car A0 : on obtient 2 boules rouges)
Donc on peut faire l'arbre suivant :
D'après cet arbre: PA0(B0)= 1/6
Si c'est correct, je fais la suite
Merci beaucoup
C'est correct pour le résultat.
Attention à nouveau : Tout à fait en haut tu as écrit PA0(B0) alors que c'est PA0(B2)
Je n'aime pas trop ce qui est au milieu (même si cela va mieux avec l'accolade) : PA0(B1) n'existe qu'à droite de l'accolade, après avoir fait la somme, pas avant, donc pas à gauche de l'accolade
Tout à fait en bas tu as écrit PA0(B2) alors que c'est PA0(B0)
Je dois impérativement quitter l' 
maintenant. Ou bien quelqu'un d'autre va t'aider (borneo, sarriette, littleguy...). Ou bien je lirai ce soir...
--> Maintenant pour A1 il reste 3 boules rouges et 1 boule noire (car A1 : on obtient une boule rouge et une boule noire)
J'ai fait un arbre, j'espere que la présentation pour B1 convient mieux ^^
D'après cet arbre : PA1(B0)= 1/2
---> Pour A2 il ne reste plus que 4 boules rouges ( car A2: on obtient 2 boules noires)
D'après l'arbre : pA2(B0) = 1
Je dois ensuite en déduire P(B0)
Pour cela j'utilise la formule des probabilités totales:
p(B0) = PA0(B0) x P(A0) + PA1(B0) x P(A1) + PA2(B0) x P(A2)
p(B0) = 1/6 x 2/5 + 1/2 x 8/15 + 1 x 1/15
p(B0) = 2/5
je dois ensuite calculer p(B1) et p(B2)
Pour cela j'utilise les arbres précédants:
PA0(B1) = 2/3
pA1(B1) = 1/2
pA2(B1) = 0
J'utilise maintenant la formule des probabilités totales:
P(B1) = PA0(B1) x P(A0) + PA1(B1) x P(A1) + PA2(B1) x P(A2)
P(B1) = 2/3 x 2/5 + 1/2 x 8/15 + 0 x 1/15
p(B1) = 8/15
Même chose pour p(B2)
PA0(B2) = 1/6
pA1(B2) = 0
pA2(B2) = 0
J'utilise maintenant la formule des probabilités totales:
P(B2) = PA0(B2) x P(A0) + PA1(B2) x P(A1) + PA2(B2) x P(A2)
P(B2) = 1/6 x 2/5 + 0 x 8/15 + 0 x 1/15
p(B2) = 1/15
C'est ici que j'ai quelques difficultés...
La question est:
On a obtenu une seule boule noire lors de ce second tirage.
Quelle est la probabilité d'avoir obtenu une seule boule noire lors du premier?
--> je traduis ceci par PB1(A1)
Je pense qu'il faut faire un arbre à l'envers mais je ne sais pas vraiment comment m'y prendre
Merci beaucoup pour votre aide
Quelques minutes de patience... Je réponds à quelques autres topics puis je lis tout ce que tu as fait 
C'est parfait ! Tout est bon.
On ne fait pas "d'arbre à l'envers"
Tu connais P(A1) et tu connais grâce à l'arbre de 16 h 15 PA1(B1)
La formule des probabilités conditionnelles te permet d'en déduire P(A1 
B1)
La même formule puisque tu connais maintenant aussi P(B1) te permet de calculer PB1(A1)
D'accord... ou un peu plus d'aide ?
alors je crois avoir compris ^^
P(A1) = 8/15
PA1(B1) = 1/2
PA1(B1) = P(A1 B1) / P(A1)
donc :
P(A1 B1) = PA1(B1) x p(A1)
P(A1 B1) = 1/2 x 8/15
P(A1 B1) = 4/15
De même:
PB1(A1) = P(B1 A1) / P(B1)
Et comme je connais P(B1) = 8/15,
PB1(A1) = 4/15 / 8/15
PB1(A1) = 1/2
Re-bonjour
Il y a une derniere question qui me pose probleme:
On considère l'événement R "il a fallu exactement les deux tirages pour que les deux boules noires soient extraites de l'urne"
Il me semble que les trois situations qui traduisent ceci sont:
PA0(B2) = 1/6
PA1(B1) = 1/2
PA2(B0) = 1
Mais j'ignore comment faire...
Pouvez vous m'aider s'il vous plait?
Merci beaucoup ^^
Je trouve un peu ambigu le mot "exactement"
Deux interprétations :
. La deuxième boule noire est la dernière boule tirée du deuxième tirage ; alors P(R) = 1/5
. Le premier tirage ne suffit pas pour avoir les deux boules noires ; mais après avoir tirer les deux boules du deuxième tirage, alors on a les deux boules noires ; dans ce cas P(R) = 1/3
Les écritures de ton message de 14 h 26 ne sont pas correctes pour cette partie.
La deuxième interprétation conduit à chercher la probabilité de (A0 B2) 
(A1 B1)
oki j'ai compris ^^
P(R) = P((A0 B2) (A1 B1))
P(R) = P (A0 B2) + P (A1 B1)
P (A1 B1)= 4/15 (je l'ai calculé précedemment)
et
P (A0 B2) = PA0(B2) x P(A0)
P (A0 B2) = 1/6 x 2/5
P (A0 B2) = 1/15
donc
P(R) = 4/15 + 1/15
P(R) = 1/3
Merci beaucoup pour votre aide ^^
Je suis en train de faire deux autres exercices (j'ai un DM à faire )
Donc je vais créer un nouveau topic car j'ai un petit probleme pour la derniere question du premier exercice...
En tout cas merci, grace à vous j'ai compris beaucoup de choses!
A bientot j'espere
Berry
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