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Exercice probabilité et suite
Bonjours, l'énoncé de mon exercice est :
Alice débute au jeu de fléchettes. Elle effectue des lancers successifs d'une fléchette. Lorsqu'elle atteint la cible à un lancer, la probabilité qu'elle atteigne la cible au lancer suivant est égale à 1/3. Lorsqu'elle a manqué la cible à un lancer, là probabilité qu'elle manque la cible au lancer suivant est égale à 4/5.
On suppose qu'au premier lancer elle a autant de chances d'atteindre la cible que de la manquer.
Pour tout entier naturel n strictement positif, on concidère les événements suivants:
An: " Alice atteint la cible au n ème coup".
Bon: " Alice raté la cible au n éme coup".
On pose Pn=p(An).
Cet exercice est en 3 questions, mais je n'arrive pas à faire à la 3 ème qui est:
3.a) montrer que pour tout entier naturel n> 1, Pn>3/13
b) étudier le sens de variation de la suite (Pn)
c) En déduire que la suite (Pn) convergé et déterminer sa limite.
Je vous remercie de bien vouloir m'aider à répondre à cette question!
Pourrais tu mettre tes deux autres questions avec tes réponses ça doit surement aider pour la troisième question.
1) Déterminer P1 et montrer que P2= 4/15
J'ai donc trouvé p1=1/2
Et j'ai réussi à démontrer que p2=4/15
2) montrer que, pour tout entier naturel n>2, Pn= 2/15 xPn-1 + 1/5
Là aussi j'ai réussi à démontrer cette équation.
Pn=p(An) donc P1 est la probabilité que la cible soit atteinte au 1er lancer
De même pour P2 mais au second lancer
salut
avec Cn l'evenement elle touche la cible :
Alice débute au jeu de fléchettes. Elle effectue des lancers successifs d'une fléchette. Lorsqu'elle atteint la cible à un lancer, la probabilité qu'elle atteigne la cible au lancer suivant est égale à 1/3. ---> P(An+1/An)= 1/3
Lorsqu'elle a manqué la cible à un lancer, là probabilité qu'elle manque la cible au lancer suivant est égale à 4/5.-->P(nonAn+1/nonAn)=4/5
On suppose qu'au premier lancer elle a autant de chances d'atteindre la cible que de la manquer. P(Ao)=P(nonAo)=1/2
Pour tout entier naturel n strictement positif, on concidère les événements suivants:
An: " Alice atteint la cible au n ème coup".
P(An+1)=P(An+1/An)*P(An)+P(An+1/nonAn)*P(nonAn)
P(An+1)=P(An+1/An)*P(An)+(1-P(nonAn+1/nonAn)*(1-P(An))
P(An+1)=1/3*P(An)+(1-4/5)*(1-P(An))=1/3*P(An)+(1/5)*(1-P(An)) =
1/3*P(An)+(1/5)*(1-P(An))=2/15*P(An) + 1/5
soit P(An+1)=2/15*P(An) + 1/5 qui peut aussi etre mi sous la forme
Pn+1 = 2/15.Pn + 1/5
Bon: " Alice raté la cible au n éme coup".
On pose Pn=p(An).
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