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Exercice : Probabilité, urne

Posté par
Aladine
13-10-12 à 21:33

Bonsoir,

Je suis bloqué sur un exercice pour mon devoir maison, quelqu'un pourrez m'aider s'il vous plait ? Merci d'avance !

Exercice :
Une urne contient au départ 3 boules blanches et 1 boule noire indiscernables au toucher.
On tire au hasard une boule de l'urne :
- Si elle est blanche, on la remet dans l'urne et on ajoute 1 boule blanche supplémentaire
- Si elle est noire, on la remet dans l'urne et on ajoute n boules noires supplémentaire, où n
On tire ensuite au hasard une seconde boule de l'urne.
On note B1 l'évenement : On obtient une boule blanche au premier tirage
et B2 : On obtient une boule blanche au second tirage.

1) Illustrer la situation par un arbre pondéré
Fait
2) a) Déterminer les probabilités PB1(B2) et P(B1B2)
J'ai trouvé PB1(B2)= 4/5
et P(B1B2) = 3/5
b) Montrer que P(B2)=(12n+63)/(20(n+4))
Je n'arrive pas a ce résultat, je trouve 12n+51/20(n+4)

c) Existe t'il une valeur de n pour laquelle les évenements B1 et B2 sont indépendants ?
3) On désigne par D l'évenement : Les deux boules sont de couleurs différentes.
a) Calculer PB1(D)
b) Montrer que P(D)= (3n+27)/(20(n+4))
c) Existe t'il une valeur de n pour laquelle les évenements B1 et D sont indépendants ?


Voilà, merci beaucoup !

Bonne soirée

Posté par
Labo
re : Exercice : Probabilité, urne 13-10-12 à 21:54

Bonsoir
p(N_1)=1/4
 \\ p(N_1 \cap B_2)=\frac{1}{4}\times \frac{3}{n+4}
 \\ p(B_2)=\frac{3}{5}+\frac{3}{4(n+4)}=\frac{12(n+4)+15}{20(n+4)}

Posté par
Aladine
re : Exercice : Probabilité, urne 13-10-12 à 22:13

Ah merci beaucoup, j'avais fait une erreur de calcul !
Par contre, pour la question suivante, je peux fa

Posté par
Aladine
re : Exercice : Probabilité, urne 13-10-12 à 22:13

Oups
je peux faire comment pour trouver la valeur de n pour qu'ils soient indépendants ? *

Posté par
Labo
re : Exercice : Probabilité, urne 13-10-12 à 22:48

Citation :
Deux événements A et B sont dits indépendants si et seulement si p(A\cap B) = p(A)\times p(B)

p(B_1\cap B_2)=\frac{3}{5}
 \\ p(B_1)\times p(B_2)=\frac{3}{4}\times \frac{12n+63}{20(n+4)}
 \\ ==>
 \\ \frac{3}{5}= \frac{36n+189}{80(n+4)}
 \\
240(n+4)=5(36n+189)
60n=-15
pas de solution dans N
sauf erreur

Posté par
Aladine
re : Exercice : Probabilité, urne 13-10-12 à 23:02

J'avais trouvé pareil, mais c'est bizarre un peu.

Je trouve pas la probabilité de PB1(D)
On fait (P(B1)*P(D))/P(B1) mais je connait pas P(D), c'est 3/4 ?

Posté par
Labo
re : Exercice : Probabilité, urne 13-10-12 à 23:16

p(B_1\cap N_2)=\frac{3}{4}\times \frac{1}{5}=\frac{3}{20}
 \\ p(N_1\cap B_2)=\frac{3}{4(n+4)}
 \\ p(D)=p(B_1\cap N_2)+p(N_1\cap B_2)=\frac{3}{20}+\frac{3}{4(n+4)}=\frac{3(n+4)+15}{20(n+4)}=\frac{12n+27}{20(n+4)}

Posté par
Labo
re : Exercice : Probabilité, urne 13-10-12 à 23:18

p_{B_1}(D)=1/5  une boule noire parmi 5 boules

Posté par
Aladine
re : Exercice : Probabilité, urne 13-10-12 à 23:31

Merci beaucoup, mais il faut pas faire de calcul pour PB1(D) ?

Et pour la dernière question je fais comme pour B1 et B2 ?
Par contre je connais pas P(DB1) ici

Posté par
Labo
re : Exercice : Probabilité, urne 14-10-12 à 09:54

Je reprends avec les notations de l'exo
la première boule tirée est blanche alors dans l'urne on a 4 boules blanches et une boule noire
p_{B_1}N_2=p_{B_1}D=\frac{1}{5}

probabilité d'avoir deux boules de couleurs différentes
la première est blanche et  la seconde est noire
p(B_1\cap D)=\frac{3}{4}\times \frac{1}{5}=\frac{3}{20}
OU
la première est noire et  la seconde est blanche
p(N_1\cap B_2)=p(N_1\cap D)=\frac{1}{4}\times \frac{3}{n+4}

p(D)=\frac{3}{20}+\frac{1}{4}\times \frac{3}{n+4}=\frac{12n+27}{20(n+4)}

Citation :
les évènements B1 et D sont-ils indépendants?

Citation :
Deux événements A et B sont dits indépendants si et seulement si p(A\cap B) = p(A)\times p(B)

p(B_1\cap D)=\frac{3}{20}
et
p(B_1)\times p(D)=\frac{3}{4}\times \frac{12n+27}{20(n+4)}=\frac{36n+81}{80(n+4)}
 \\
\frac{3}{20}=\frac{36n+81}{80(n+4)}

240n+12=720n+1620
480n=-1608 pas de solution dans N

Posté par
Aladine
re : Exercice : Probabilité, urne 14-10-12 à 13:31

Ah j'ai compris, merci
Mais y'a pas une erreur ?
C'est pas :
p(D)= (3n+27)/(20(4+n)) ?

Posté par
Aladine
re : Exercice : Probabilité, urne 14-10-12 à 13:46

J'ai trouvé n=26,8 du coup, c'est ça ?

Posté par
Labo
re : Exercice : Probabilité, urne 14-10-12 à 22:43

désolée,j'ai fait une erreur de calcul ...

p(D)= (3n+27)/(20(4+n))

p(B_1)\times p(D)=\frac{3}{4}\times \frac{3n+27}{20(n+4)}=\frac{9n+81}{80(n+4)}
 \\
\frac{3}{20}=\frac{9n+81}{80(n+4)}
==> 60n=660
n=11

Si n vaut 11 alors les évènements B_1 et D sont indépendants

Posté par
camus
re : Exercice : Probabilité, urne 02-11-12 à 13:02

Excuse moi, peux tu me dire comment tu as fait ton arbre pondéré parce que je suis bloquée avec mes n?

Posté par
Labo
re : Exercice : Probabilité, urne 02-11-12 à 16:17

Bonjour camus
deux branches , puis quatre branches
/p=3/4                      \p=1/4
  B1                                 N1  
/p=4/5 \p=1/5           /p=3/(n+4) \p=(n+1)/(n+4)
B2          N2               B2                     N2

Posté par
camus
re : Exercice : Probabilité, urne 03-11-12 à 11:35

Merci beaucoup labo, c'est gentil, je suis dèsolee de vous derranger pour ça! je vais faire la suite de mon DM merci!

Posté par
KnackiD
re : Exercice : Probabilité, urne 27-10-13 à 21:08

Bonjour boujour !

J'ai le meme Dm a faire mais je ne comprend meme pas comment faire l'arbre.. Je n'ai pourtant pas plus de probleme que ca en mathematiques.  Serais t'il possible de m'expliquer comment le faire. Jai fais beacoup de recherche mais aucune est bonne.

Voila voila.

Merci beacoup a ceux qui prendrons le temps de me repondre.

Bonne soiree.

Posté par
houssa
re : Exercice : Probabilité, urne 01-11-13 à 15:59

bonjours,
je n'est pas tout a fait comprit le raisonnement de la dernier partie de la question 2c si vous plait!!

Posté par
Labo
re : Exercice : Probabilité, urne 01-11-13 à 19:02

relis ceci

Citation :
Deux événements A et B sont dits indépendants si et seulement si p(A\cap B) = p(A)\times p(B)

Posté le 14-10-12 à 22:43

Posté par
Chris_imelo
re : Exercice : Probabilité, urne 12-01-14 à 18:33

Bonsoir, j'ai le même devoir maison et je ne sais pas comment faire la question 2)a) merci

Posté par
Labo
re : Exercice : Probabilité, urne 12-01-14 à 19:06

Bonsoir,
relis ce post  02-11-12 à 16:17

Posté par
Chris_imelo
re : Exercice : Probabilité, urne 12-01-14 à 19:35

Donc pour Proba de B1 sachant B2 on fait P(B1 union B2)/PB1 ?

Posté par
Labo
re : Exercice : Probabilité, urne 12-01-14 à 22:08

Proba de B1 sachant B2  ????  
  B1  =tirer une boule blanche au premier  tirage
l'évènement  se déroule avant l'événement B2 , qui lui est tirer une boule blanche au second tirage

Proba de B2 sachant B1   =
si B1 s'est réalisé alors l'urne contient 5 boules et parmi ces 5 boules 4 sont blanches
d'où
P_{B_1}(B_2)=\dfrac{4}{5}

Posté par
Labo
re : Exercice : Probabilité, urne 13-01-14 à 14:02



2b)on te demande P(B2)
on cherche la probalité d'avoir  tirer une boule blanche lors du premier tirage , sachant qu'au second tirage la boule tirée est blanche
  deux possibilités
la boule tirée au premier tirage est blanche et celle tirée au second tirage est aussi blanche
OU  la boule tirée au premier tirage est noire et celle tirée au second tirage est aussi blanche

 p(B_2)=  p(B_1\cap B_2)+p(N_1\cap B_2)=p(B_1)\times p_{B_1}B_2+p(N_1)\times p_{N_1}B_2
 \\ =\dfrac{3}{4}\times \dfrac{4}{5}+\dfrac{1}{4}\times \dfrac{3}{n+4}
=\dfrac{12n+63}{20(n+4)}

Posté par
Chris_imelo
re : Exercice : Probabilité, urne 13-01-14 à 19:15

Merci beaucoup

Posté par
Daviddraw14
re : Exercice : Probabilité, urne 30-10-20 à 11:13

Bonjour je ne comprend pas réponse à la question 3c pourriez vs me l'expliquer je ne comprend pas d'où viens le 60 ?



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