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Niveau première
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exercice suites

Posté par
Raf2boss
17-02-21 à 19:58

Bonsoir, je suis bloqué sur cet exercice même si j'ai réussi les premières questions:
Somme des inverses par Nicolas Oresme
On considère la suite (Sn) définie par Sn=1+1/2+1/3+...+1/n
Nicolas Oresme, évêque et mathématicien du XIVe siècle, a l'idée de regrouper certains termes dans le calcul de Sn lorsque l'entier n est une puissance de 2:
S2n=S2n-1+((1/(2n-1+1)+1/(2n-1+2)+...+1/2n)
Soit un entier n>1. On s'intéresse ici à l'écart rn entre S2n-1 et S2n.
rn=1/(2n-1+1)+1/(2n-1+2)+...+1/(2n)

Le programme python suivant permet de calculer le terme rn
def calcul_r(n):
      r =0
      k = 2**(n-1)+1
      while k<=2**(n):
              r= r+1/k
              k =k+1
     return r

Questions
J'ai réussi les premières questions qui n'apportent pas à la suite de l'exercice, mais je bloque en arrivant là :
2a. Exprimer 2n-2n-1. En déduire le nombre de termes 1/k ajoutés pour obtenir rn en fonction de n.
b. Justifier que r2 >2 * 1/4, que r3>4*1/8, puis que r4>8*1/16
c. Démontrer que, pour tout entier n>1, on a :
rn>2n-1*(1/(2n)), c'est à dire rn>1/2
Si jamais vous pourriez m'éclairer un peu, je serai preneur.
Merci d'avance

Posté par
Zormuche
re : exercice suites 17-02-21 à 21:29

Bonjour

Exprimer 2^n-2^(n-1), ce n'est pas très précis comme question. Peut-être qu'il faut comprendre : "exprimer sous forme factorisée"

Posté par
Zormuche
re : exercice suites 17-02-21 à 22:16

Pour minorer  r_n, tu dois remarquer que  r_n  est une somme finie, donc est supérieur ou égal à son nombre de termes multiplié par le plus petit de ses termes
inutile de montrer la supériorité stricte (même si ça se fait en une phrase), elle n'est pas nécessaire pour conclure sur l'exercice

Posté par
Raf2boss
re : exercice suites 17-02-21 à 22:50

je me suis trompé en recopiant la question, la vraie question 2.a. est : Exprimer 2n-2n-1 en fonction de n.

Posté par
Zormuche
re : exercice suites 18-02-21 à 00:04

Il faut factoriser pour trouver un résultat plus simple

Posté par
Raf2boss
re : exercice suites 18-02-21 à 00:22

J'obtiens 2n-1.  Pour ce qui est du nombre de termes 1/k ajoutés je ne comprends pas car 2n-2n-1=2n-1 ce qui signifierait qu'on ajoute un seul terme 1/k or k=2n-1+1

Posté par
Zormuche
re : exercice suites 18-02-21 à 01:14

Non justement, on ajoute 2^(n-1) termes

Posté par
Tilk_11 Moderateur
re : exercice suites 18-02-21 à 09:34

Bonjour Raf2boss,
peux-tu, s'il te plait, modifier le niveau dans ton profil, merci.

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q12 - Dois-je forcément indiquer mon niveau lorsque je poste un nouveau sujet ?

Posté par
Raf2boss
re : exercice suites 18-02-21 à 09:52

Tilk_11 @ 18-02-2021 à 09:34

Bonjour Raf2boss,
peux-tu, s'il te plait, modifier le niveau dans ton profil, merci.
[faq]niveau[/faq]
Sur mon profil je suis toujours enregistré comme étant en seconde, mais ça date de l'année dernière et je n'arrive pas à le changer

Posté par
Raf2boss
re : exercice suites 18-02-21 à 09:54

Zormuche @ 18-02-2021 à 01:14

Non justement, on ajoute 2^(n-1) termes
Je ne suis pas sur de bien comprendre, on cherche pas un multiple de k, qui lui est égal à 2n-1+1?

Posté par
Tilk_11 Moderateur
re : exercice suites 18-02-21 à 11:25

Pour changer ton niveau :
clique sur ton pseudo puis sur "Mon Profil" "Mes études, mon profil" et là tu peux faire la modification

Posté par
Raf2boss
re : exercice suites 18-02-21 à 11:35

C'est bon c'est fait. Pour en revenir à l'exercice, j'ai enfin compris la 2.a.  Mais en arrivant à la 2b. Pour justifier que r2 > 2*1/4 je comprends le 2, mais pas le 1/4, et puis je ne comprends pas le fait que ce soit supérieur et pourquoi pas égal?



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