Bonsoir,

On considère la fonction f définie par f(x)=x(1-x)sur .

1) Demontrer que f(x)<<1/4 pour tout x(<< veut dire < ou =)


On a donc  en développant:

-x²+x-1/4<<0

soit : x²-x+1/4>>0

Tu reconnais une identité remarquable qui donne :

(x-1/2)²>>0  : toujours vérifié.



2) En déduire que la fonction f admet un maximun en x=1/2

La valeur maximale de f(x) est donc 1/4 qui s'obtient pour x=1/2  car f(1/2)=1/4.



3) Démontrer que f(x)=1/4-(x-1/2)²



2 façons de faire :


1) Tu développes : 1/4-(x-1/2)² pour trouver -x²+x puis : x(1-x)

2) Plus élégant :

x(1-x) = -x²+x=-(x²-x)(1)

Mais x²-x est le début du développement de :

(x-1/2)²=x²-x+1/4  donc x²-x=(x-1/2)²-1/4

(1) donne alors :  -[(x-1/2)²-1/4]=1/4-(x-1/2)²





4) En déduire que la fonction f est croissante sur l'intervalle ]-;1/2[ et décroissante sur l'intervalle ]1/2;+[


f(x)=1/4-(x-1/2)²


Sur x E]-inf ;-1/2[ , (x-1/2)² est un nb >0 qui varie de +oo à 0 donc f(x) varie de -oo à 1/4, elle croît.

Je te laisse finir...

Salut.

Bonjour NeoDevil
1) On peut étudier le signe de f(x)-1/4
f(x)-1/4=-x²+x-1/4=-1(x²-x+1/4)=-1(x-1/2)²
(x-1/2)²tjs positif ou nul donc f(x)-1/4 est tjs négatif ou nul : f(x)1/4
                    
                                 ;)

re bonsoir,

ma dernière partie n'est pas bonne :

ilfaut étudier le signe de :

[f(a)-f(b)]/(a-b)

Si ce rapport est positif, la fonction est croissante, décroissante si le signe du rapport est négatif.

Si tu ne réussis pas, dis-le : je peux voir ça demain.

A+

Merci pour vos réponses !

En ce qui concerne la dernière question je me suis pas embêté j'ai décomposé la fonction pour étudier son sens de variation.