Bonjour,

J'ai eu un exercice du livre de 1ère S en DM, et je dois dire que je n'y comprend rien. (Classé 2 étoiles).

Puis-je avoir de l'aide svp?

Voilà l'énoncé de l'exercice:

Il s'agit d'identifier toutes les  fonctions fsatisfesant la condition:

f une fonction définie sur [0;1] et à valeurs dans [0;1] telle que pour tous réels x et y de [0;1],

                           |f(x)-f(y)||x-y|

1) Vérifiez  que les fonctions u et v définies sur [0;1] par u(x)=x et v(x)= 1-x remplissent cette condition.

2)Dans toute la suite, f désigne une fonction satisfaisant la condition. Prouvez qu'alors nécéssairement:

{f(0)=0        ou   {f(0)=1
{f(1)=1             {f(1)=0

3) On suppose que f(0)=0  (donc f(1)=1).
a) Démontrez que pour tout x de [0;1], f(x)x.
b) Exploitez l'inégalité |f(x)-1] |x-1| pour établir que pour tout x de [0;1], f(x)= x.

4) Examinez le cas f(0)=1. On pourra par exemple s'intérresser à la fonction g(x)= 1-f(x)

5) Déduisez de cette étude que les seules fonctions qui vérifient la condition énoncée sous les fonctions u et v.

Voilà, c'est assez dur et long...

Merci encore à ceux qui voudront bien apporter leur aide.