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Exercice sur les rotations

Posté par
valentin0108 19-08-08 à 11:19

Bonjour , voila un exercice que je n'arrive pas du tout a resoudre.

Soit ABC un triangle direct et P un point interieur a ce triangle

1] Soit r la rotation de centre B et d'angle π/3. On pose r[P]=Q et r[A]=C′

a] Quelle est la nature des triangles PQB et BAC′ [ Je pense qu'ils sont equilateral car chaque angle vaut π/3 mais comment le prouver

b]Montrer que AP+BP+CP = C′Q+QP+PC

c]Montrer que si C,P,Q,et C′sont alignes dans cette ordre alors PA+PB+PC est minimum.

d]Montrer que si C,P,Q,et C′sont alignes dans cette ordre alors les vecteurs [PB,PC]=[PA,PB]=[PC,PA]=2π/3

2] Reciproquement, montrer que si P est tel que [PB,PC]=[PA,PB]=[PC,PA]=2π/3 , alors C,P,Q,et C′sont alignes dans cette ordre , en deduire alors que PA+PB+PC est minimum.

3] ABC esT un triangle rectangle isocele en A direct tel que AB=5. On considere le milieu I de [BC] et le point P tel que AP=3-√3/3 AI

a] Calculer AI, AP, IP et PB
b] Determiner les angles IPB, BPC, APB, CBP.
C] En deduire que PB,PC]=[PA,PB]=[PC,PA]=2π/3.

Merci d'avance car je vois cet exercice comme insurmontable seul pour moi.

Posté par
valentin0108re : Exercice sur les rotations 19-08-08 à 12:24

Le probleme vient du fait que je ne connais pas les methodes pour resoudre ce genre d'exercices.

Posté par
bechirovrepondre avalentin0108 19-08-08 à 13:10

bonjour  stp indique ton niveau au lycée je pourrai peut être t'aider selon les acquis que tu devrais avoir

Posté par
valentin0108re : Exercice sur les rotations 19-08-08 à 13:12

Je passe en terminale S

Posté par
cailloux Correcteurre : Exercice sur les rotations 19-08-08 à 15:00

Bonjour,

1)a) Q est l' image de P dans la rotation de centre B et d' angle +\frac{\pi}{3}

On peut en conclure directement que le triangle PBQ est équilatéral:

BP=BQ (il est isocèle)

L' angle au sommet principal B valant \frac{\pi}{3}, les 2 autres valent aussi \frac{\pi}{3}

Même chose pour le triangle BAC'

b) Le segment [AP] a pour image par r le segment [C'Q]

r étant une isométrie: AP=C'Q et BP=QP (triangle équilatéral PBQ)

d' où AP+BP+CP=C'Q+QP+PC

c) Si C',Q,P,C sont alignés dans cet ordre, les points C et C' ne dépendant pas de P, C'Q+QP+PC=CC' est minimum.

Donc AP+BP+CP est minimum.

d)Dans ces conditions:

(\vec{PB},\vec{PC})=(\vec{PQ},\vec{PC})-(\vec{PQ},\vec{PB})=\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}

La droite (PA) a pour image par r la droite (QC')

d' où (\vec{PA},\vec{QC'})= (\vec{PA},\vec{PC'})=\frac{\pi}{3}

et (\vec{PA},\vec{PB})=\frac{2\pi}{3}

C' est un début...


Posté par
cailloux Correcteurre : Exercice sur les rotations 19-08-08 à 16:04

2) La réciproque:

On suppose que (\vec{PB},\vec{PC})=(\vec{PA},\vec{PB})=(\vec{PC},\vec{PA})=\frac{2\pi}{3}.

Alors, (\vec{PQ},\vec{PC})=(\vec{PQ},\vec{PB})+(\vec{PB},\vec{PC})=\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi}{3}=\pi

et Q,P,C sont alignés dans cet ordre.

\{Q=r(P)\\C=r(A) donc (\vec{PA},\vec{QC'})=\frac{\pi}{3}

(\vec{PA},\vec{PQ})=(\vec{PC},\vec{PQ})-(\vec{PC},\vec{PA})=\pi-\frac{2\pi}{3}=\frac{\pi}{3}

On en déduit que (\vec{PQ},\vec{QC'})=(\vec{PQ},\vec{PA})+(\vec{PA},\vec{QC'})=0

soit (\vec{QP},\vec{QC'})=\pi

et C',Q,P sont alignés dans cet ordre.

Finalement C',Q,P,C sont alignés dans cet ordre et le 1)c) permet d' affirmer que PA+PB+PC est minimum.

Posté par
valentin0108re : Exercice sur les rotations 19-08-08 à 16:37

Merci beaucoup , ou en es tu dans tes etudes pour reussir facilement cet exercice

Posté par
cailloux Correcteurre : Exercice sur les rotations 19-08-08 à 16:48

Hoou! les études sont loin...y' a plus que des souvenirs...

Posté par
valentin0108re : Exercice sur les rotations 19-08-08 à 16:53

Je reflechis sur le 3 avec pythagore , mais je ne trouve pas , j'en demande surement un peu trop mais j'ai du mal en mathmais je comprend quand j'ai la reponse , je fais ces exercices pour m'entrainer et rattraper l'annee derniere.

Posté par
cailloux Correcteurre : Exercice sur les rotations 19-08-08 à 17:10

La 3) est une application numérique du problème où on a démontré que:

P étant un point intérieur à un triangle, PA+PB+PC est minimum si et seulement si \widehat{APB}=\widehat{BPC}=\widehat{CPA}=\frac{2\pi}{3}

Ici, on a un triangle rectangle isocèle:

3)a)AI=\frac{5\sqrt{2}}{2} (demi diagonale d' un carré de côté 5)

AP=\frac{3-\sqrt{3}}{3}AI=\frac{5(3-\sqrt{3})\sqrt{2}}{6}

IP=AI-AP=\frac{5\sqrt{2}}{2}-\frac{5(3-\sqrt{3})\sqrt{2}}{6}=\frac{5\sqrt{6}}{6}

Dans le triangle rectangle en I BIP:

PB^2=IP^2+IB^2=\frac{25}{6}+\frac{25}{2}=\frac{50}{3}

et PB=\frac{5\sqrt{6}}{3}

b) cos\widehat{IPB}= \frac{PI}{PB}=\frac{1}{2} et \widehat{IPB}=\frac{\pi}{3}

d' où \widehat{BPC}=2\widehat{IPB}=\frac{2\pi}{3}

\widehat{APB}=\widehat{IPA}-\widehat{IPB}=\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}=\widehat{CPA}

c)On est bien dans les conditions de notre problème.

Tu peux conclure avec les angles de vecteurs...

Posté par
valentin0108re : Exercice sur les rotations 19-08-08 à 17:22

C'est bon , j'ai conclu le c] merci beaucoup pour ton aide , je vais pouvoir passer au chapitre des polynomes

Posté par
cailloux Correcteurre : Exercice sur les rotations 19-08-08 à 17:25

De rien, valentin0108

Il est beau ton exercice, ça m' a bien plu...


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