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Exercice Tangente/Dérivée 1S

Posté par
Zyclon
27-02-16 à 14:16

Soit f la fonction définie sur R par f(x)= (x-2)^2
Existe-t-il des réels a tels que la tangente à Cf au point M d'abscisse a recoupe les axes de coordonnées en deux points A et B symétriques par rapport à M ?
J'ai fait ça :
On a f(x) = (x-2)^2 défini sur R et dérivable sur R. Sa dérivée est f'(x)= 2(x-2)
L'équation de la tangente est donc y = f'(a)(x-a)+f(a) soit y = 2(x-2)(x-a)+(x-2)^2
On résout donc y = 0 soit 2(x-2)(x-a)+(x-2)^2 = 0 et je trouve x=2 ou x=2a/3+2/3
J'ai ensuite résolu 2(0-2)(0-a)+(0-2)^2= y
Et j'obtiens y = 4a + 4. Et après je ne sais comment avancer...

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : Exercice Tangente/Dérivée 1S 27-02-16 à 14:22

Bonjour,

L'équation de la tangente n'est pas ce que tu indiques. Tu as confondu x et a.

Nicolas

Posté par
Zyclon
re : Exercice Tangente/Dérivée 1S 27-02-16 à 14:26

y = f'(a)(x-a)+f(a) correspond à y =  2(a-2)(x-a)+(a-2)^2  c'est ça ?

Posté par
malou Webmaster
re : Exercice Tangente/Dérivée 1S 27-02-16 à 14:26

Zyclon, je vois que tu es nouveau(velle), bienvenue sur l'
mais je vois aussi que tu as ouvert un 2e compte, ferme le stp dès maintenant puisque tu travailles avec celui-ci, on ne peut pas avoir deux comptes ici
Merci

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : Exercice Tangente/Dérivée 1S 27-02-16 à 14:28

L'équation de la tangente au point d'abscisse a me semble correcte.

Posté par
malou Webmaster
re : Exercice Tangente/Dérivée 1S 27-02-16 à 14:35

merci Zyclon, bonne suite d'exercice avec Nicolas que je salue...

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : Exercice Tangente/Dérivée 1S 27-02-16 à 14:36

Bonjour malou

Posté par
Zyclon
re : Exercice Tangente/Dérivée 1S 27-02-16 à 14:40

Lorsque je résout y = 0 pour avoir les points d'intersection de cette droite avec axe X,  2(a-2)(x-a)+(a-2)^2 = 0, j'obtiens a = 2 ou a = 2x-2. Je ne retiens que a = 2 ? Donc la tangente coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse a = 2 c'est ça ?

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : Exercice Tangente/Dérivée 1S 27-02-16 à 14:44

Je ne comprends pas ce que tu fais.

L'équation de la tangente au point d'abscisse a est : y = 2(a-2)(x-a)+(a-2)²
Tu cherches les coordonnées (xM;yM) du point M intersection de cette tangente avec l'axe de abscisses.
Comme tu le dis, yM = 0.
Il reste : 2(a-2)(xM-a)+(a-2)² = 0
Reste à résoudre cette équation.
Mais ce n'est pas une équation d'inconnue a. C'est une équation d'inconnue xM.
xM = ...

Posté par
Zyclon
re : Exercice Tangente/Dérivée 1S 27-02-16 à 14:58

Pour 2(a-2)(xm-a)+(a-2)^2= 0, je trouve xm = (a+2)/2

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : Exercice Tangente/Dérivée 1S 27-02-16 à 15:01

OK. Donc le point de coordonnées \left(\dfrac{a+2}{2};0\right) est le point d'intersection entre l'axe des abscisses et la tangente au point d'abscisse a.

Posté par
Zyclon
re : Exercice Tangente/Dérivée 1S 27-02-16 à 15:10

Citation :
au point M d'abscisse a recoupe les axes de coordonnées en deux points A et B symétriques par rapport à M ?
Ne doit on pas établir les coordonnées des points A et B où la tangente coupe les axes des coordonnées puis enfin écrire que le point M est le milieu du segment [AB] ?

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : Exercice Tangente/Dérivée 1S 27-02-16 à 15:24

Oui.

Tu viens de déterminer les coordonnées \left(\dfrac{a+2}{2};0\right) du point A d'intersection entre l'axe des abscisses et la tangente au point d'abscisse a.

Reste à déterminer les coordonnées du point B d'intersection entre l'axe des ordonnées et la tangente au point d'abscisse a.

Posté par
Zyclon
re : Exercice Tangente/Dérivée 1S 27-02-16 à 15:44

Et donc là pour B, pour le point d'intersection de cette droite avec l'axe des ordonnées on regarde pour quelle valeur de y on trouve  x=0. Donc je résout y = 2(a-2)(0-a)+(a-2)^2 avec xM = 0. Je trouve y =  4-a^2. Donc B(0; 4-a^2) . C'est bon ?

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : Exercice Tangente/Dérivée 1S 27-02-16 à 15:45

Cela me semble bon, oui.

Reste à écrire que A et B sont symétriques par rapport à M.

Posté par
Zyclon
re : Exercice Tangente/Dérivée 1S 27-02-16 à 16:00

Je dois faire du calcul vectoriel pour déterminer M grâce aux coordonnées de A et de B , il me semble ?

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : Exercice Tangente/Dérivée 1S 27-02-16 à 16:05

M est le point de la courbe d'abscisse a : ses coordonnées sont évidentes.

Posté par
Zyclon
re : Exercice Tangente/Dérivée 1S 27-02-16 à 16:10

Bah M a pour coordonnés (a ; f(a)) soit (a; ((x-a)^2))

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : Exercice Tangente/Dérivée 1S 27-02-16 à 16:11

"Bah"... non. Il n'y a aucune raison qu'un "x" apparaisse ainsi.

Posté par
Zyclon
re : Exercice Tangente/Dérivée 1S 27-02-16 à 16:15

Donc c'est juste que M(a; f(a)) ?

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : Exercice Tangente/Dérivée 1S 27-02-16 à 16:19

Evidemment que les coordonnées du point d'abscisse a de la courbe y=f(x) sont (a;f(a)). C'est même une sorte de définition. Reste à remplacer f(a) par son expression.

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : Exercice Tangente/Dérivée 1S 27-02-16 à 16:29

Tu peux aller voir la figure animée au bout de ce lien :
https://www.geogebra.org/material/simple/id/2751999
et faire bouger le point M à la souris.
La question qui se pose est de savoir si, pour une valeur de a, M se confond avec le milieu I de [AB]

Posté par
Zyclon
re : Exercice Tangente/Dérivée 1S 27-02-16 à 16:32

Merci beaucoup. Je vais voir ça et je vous tiens au courant si je trouves des choses

Posté par
Zyclon
re : Exercice Tangente/Dérivée 1S 27-02-16 à 16:46

Grâce à GeoGebra, j'ai trouvé a mais je ne sait comment le trouver de façon algébrique :/

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : Exercice Tangente/Dérivée 1S 27-02-16 à 16:47

Tu dois trouver a tel que M soit le milieu de [AB].
Qu'est-ce que cela signifie en termes de coordonnées ?

Posté par
Zyclon
re : Exercice Tangente/Dérivée 1S 27-02-16 à 16:56

Aaaaah je vois : on a  A(xA ; yA), B(xB ; yB) deux points du plan. Si M est le milieu du segment [AB], alors les coordonnées de M sont données par M((xA ; yA)/2 ; (xB ; yB)/2)

Posté par
Zyclon
re : Exercice Tangente/Dérivée 1S 27-02-16 à 17:00

Je voulais dire M((xA + yA)/2 ; (xB  + yB)/2)

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : Exercice Tangente/Dérivée 1S 27-02-16 à 17:00

" M((xA ; yA)/2 ; (xB ; yB)/2) " ne veut pas dire grand chose, mais tu as saisi l'idée. Reste à dérouler les calculs...

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : Exercice Tangente/Dérivée 1S 27-02-16 à 17:01

" M((xA + yA)/2 ; (xB + yB)/2) " est faux en revanche.

Posté par
Zyclon
re : Exercice Tangente/Dérivée 1S 27-02-16 à 17:11

J'ai trouvé et cela correspond avec votre figure sur GeoGebra.  On sait que M a pour coord. (a ;  f(a)) . Or M est le milieu de [AB] donc M a pour coord. ((xA+yA)/2 ; (xB+yB)/2). On connait les coord de A où xA = (a+2)/2  et yA = 0. Donc a = (xA+ yA)/2 soit [(a+2/2)+0]/2 = 2/3. Sur GeoGebra, a = 0.666667 soit 2/3

Merci de m'avoir aidé et bonne journée.

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : Exercice Tangente/Dérivée 1S 27-02-16 à 17:15

a = 2/3 me semble juste, mais est précédé de nombreuses erreurs.
"((xA+yA)/2 ; (xB+yB)/2)" : non
Il y a un système d'équations à résoudre.

Posté par
Zyclon
re : Exercice Tangente/Dérivée 1S 27-02-16 à 17:18

J'ai compris mon erreur  M a pour coord. ((xA+xB)/2 ; (yA+yB)/2). Mais comme xB = 0 comme yA, mon calcul n'est pas faux

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : Exercice Tangente/Dérivée 1S 27-02-16 à 17:20

Il est incomplet. Tu n'as résolu qu'une équation sur deux.

Posté par
Zyclon
re : Exercice Tangente/Dérivée 1S 27-02-16 à 17:32

\left\lbrace\begin{matrix} \frac{\(xA+xB }{\p2}=a& & \\ {\frac{yA+yB}{2} }= f(a)\end{matrix}\right.

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : Exercice Tangente/Dérivée 1S 27-02-16 à 17:32

Oui.

Posté par
Zyclon
re : Exercice Tangente/Dérivée 1S 27-02-16 à 17:36

Je pense que je peux terminer et que je n'aurai point besoin de vous demander autre chose. Merci encore de m'avoir aidé cette après-midi.

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : Exercice Tangente/Dérivée 1S 27-02-16 à 17:58

Comme tu le souhaites. Je t'en prie.

Posté par
Zyclon
re : Exercice Tangente/Dérivée 1S 27-02-16 à 18:32

Je fait une dédicasse à la 1S09 de St-Ser' qui vont venir ici chercher les réponses à l'exo 1 du DM.



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