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Niveau cinquième
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Exercice ..une equation

Posté par
Mjide
20-02-11 à 00:43

salut mes amis
j'ai trouvé des problèmes  en essayant de résoudre cet exercice :


soient a et b deux réels strictement positifs tels que : a+b =ab.
Montrer que a/b2+4   + b/a2+4   1/2


Merci d'avance

Posté par
harry-_-
re : Exercice ..une equation 20-02-11 à 01:36

T'es sur qu'il faut Montrer que a/b2+4   + b/a2+4   1/2 ??

Posté par
mwek
Réponse 20-02-11 à 02:09

Tes problèmes sont loin de finir, Mjide, et tu en as pour longtemps pour venir à bout de celui-ci en particulier:
Il est impossible.
Contre exemple si a=3 et b=3/2.
On a bien a et b réels strictement positifs tels que:
a+b=ab=9/2,
sans avoir pour autant l'égalité voulue.
3/(9/4 + 4) + (3/2)/(9+4) 1/2

Consolation: ça marche pour a=b=2 !

Posté par
Mjide
re : Exercice ..une equation 20-02-11 à 23:41

aaa
je l'ai po écris correctement .. Je suis navré
Voilà  ce qui faut montrer :
Montrer que a/b2+4   + b/a2+4   1/2

Merci d'avance  "Mwek" et " harry-_-

Posté par
mwek
Réponse 21-02-11 à 04:38

Bonsoir Mjide.

Effectivement, c'est maintenant une toute autre histoire. J'ai trouvé une méthode un peu laborieuse, mais elle aboutit:

Démarche (en vrac):
Soustraction des deux quantités et passage au dénominateur commun
Étude du signe du numérateur (dénominateur positif):
1)Obtention d'un polynôme en x=(a+b)
2)En remarquant que a+b4, étude du signe de ce polynôme pour x4

L'idée est d'étudier le signe de la fonction f(a) = a/(b2+4) + b/(a2+4) - 1/2

J'écris bien f(a) et non f(a,b) puisque la relation donne b=a/(a-1)
(a=1 est à rejeter car cela donnerait b=b+1... On peut donc diviser
par a-1)

Étapes laborieuses:
1) Dénominateur commun
2) Regroupement astucieux au numérateur pour y avoir un polynôme en (a+b)
(le signe du dénominateur est trivialement strictement positif)

On y va: j'écris uniquement le numérateur N(a) de f(a) pour un dénominateur commun de 2(a2+4)(b2+4).

N(a)=
2a(a2+4)+2b(b2+4)-(a2+4)(b2+4)=
2a3+8a+2b3+8b-a2b2-4a2-4b2-16=
2(a3+b3)+8(a+b)-(a+b)2-4(a2+b2)-16

J'ai utilisé le fait que: a2b2=(ab)2=(a+b)2

De plus, faisons un petit calcul, pour se débarasser de tout ce qui n'est pas une puissance de (a+b):
1)
a2+b2=
a2+b2+2ab-2ab=
(a+b)2-2ab=
(a+b)2-2(a+b)
2)
a3+b3=
a3+b3+3a2b+3ab2-3a2b-3ab2=
(a+b)3-3(a2b+ab2)=
(a+b)3-3ab(a+b)=
(a+b)3-3(a+b)2 (car ab=a+b)

NB:
Il faut garder en tête que le but est de n'avoir qu'un pôlynome en (a+b)

Reprenons:

N(a)=
2(a3+b3)+8(a+b)-(a+b)2-4(a2+b2)-16=
2[(a+b)3-3(a+b)2]+8(a+b)-(a+b)2-4[(a+b)2-2(a+b)]-16

On pose x=a+b par souci de clarté. En regroupant les degrés:

N(x)=2x3-11x2+16x-16

On dérive:

N'(x)=6x2-22x+16
N' s'écrit plus facilement (En utilisant , ou bien, plus facile: en remarquant que 1 est racine évidente... Bref, en factorisant)
N'(x)=(x-1)(6x-16)

Mais x=a+b et je dis que a+b4 (Je le démontrerai plus loin)
Puisque x4, N'(x)0.
Donc N est croissant.
Or x4
Donc N(x)N(4)

N(4)=
2(4)3-11(4)2+16(4)-16=
16(8-11+4-1)=
0

N(4)=0

Donc N(x)0

Donc f(a)0 et donc:

a/(b2+4) + b/(a2+4)1/2

Il faut encore montrer a+b4

Soit
g(a)=a+b=a+a/(a-1)=(a2-a+a)/(a-1)=a2/(a-1)
g'(a)=[2a(a-1)-a2]/(a-1)2=a(a-2)/(a-1)2
g'(a) est positive si a2 et négative si a2
Donc g est minimale en 2
Le minimum de g est g(2)=22/(2-1)=4
Donc a+b4

Je pense que tu es d'accord: c'est laborieux. Je ne vois pas pour le moment une méthode plus simple, ou plus rapide.

Posté par
sephdar
re : Exercice ..une equation 21-02-11 à 08:31

bonjour

Mjide  tu es sûr qu'il fallait posté en ... 5ème ?

Posté par
mwek
Niveau? 21-02-11 à 18:05

Oops... 5ème? Vraiment?

Posté par
Mjide
Merci Mwek 25-02-11 à 00:17

Merci Mwek ; La méthode est un peu complexe mais utile comme même
Merci également pour le temps que tu as coulé en essyant de résoudre

@ sephdar :
Bon ; notre prof de Math nous l'a donné dans un devoir hors classe :p

Mercii à Touuus

Posté par
mwek
re : Exercice ..une equation 25-02-11 à 06:31

Bonjour Mjide.
De rien, ça m'a fait plaisir (autant de faire des maths intéressantes que de te dépanner).
Ça m'interesserait de savoir, en très résumé bien sûr, comment ton prof le démontre.



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