salut mes amis
j'ai trouvé des problèmes en essayant de résoudre cet exercice :
soient a et b deux réels strictement positifs tels que : a+b =ab.
Montrer que a/b2+4 + b/a2+4 1/2
Merci d'avance
Tes problèmes sont loin de finir, Mjide, et tu en as pour longtemps pour venir à bout de celui-ci en particulier:
Il est impossible.
Contre exemple si a=3 et b=3/2.
On a bien a et b réels strictement positifs tels que:
a+b=ab=9/2,
sans avoir pour autant l'égalité voulue.
3/(9/4 + 4) + (3/2)/(9+4) 1/2
Consolation: ça marche pour a=b=2 !
aaa
je l'ai po écris correctement .. Je suis navré
Voilà ce qui faut montrer :
Montrer que a/b2+4 + b/a2+4 1/2
Merci d'avance "Mwek" et " harry-_-
Bonsoir Mjide.
Effectivement, c'est maintenant une toute autre histoire. J'ai trouvé une méthode un peu laborieuse, mais elle aboutit:
Démarche (en vrac):
Soustraction des deux quantités et passage au dénominateur commun
Étude du signe du numérateur (dénominateur positif):
1)Obtention d'un polynôme en x=(a+b)
2)En remarquant que a+b4, étude du signe de ce polynôme pour x
4
L'idée est d'étudier le signe de la fonction f(a) = a/(b2+4) + b/(a2+4) - 1/2
J'écris bien f(a) et non f(a,b) puisque la relation donne b=a/(a-1)
(a=1 est à rejeter car cela donnerait b=b+1... On peut donc diviser
par a-1)
Étapes laborieuses:
1) Dénominateur commun
2) Regroupement astucieux au numérateur pour y avoir un polynôme en (a+b)
(le signe du dénominateur est trivialement strictement positif)
On y va: j'écris uniquement le numérateur N(a) de f(a) pour un dénominateur commun de 2(a2+4)(b2+4).
N(a)=
2a(a2+4)+2b(b2+4)-(a2+4)(b2+4)=
2a3+8a+2b3+8b-a2b2-4a2-4b2-16=
2(a3+b3)+8(a+b)-(a+b)2-4(a2+b2)-16
J'ai utilisé le fait que: a2b2=(ab)2=(a+b)2
De plus, faisons un petit calcul, pour se débarasser de tout ce qui n'est pas une puissance de (a+b):
1)
a2+b2=
a2+b2+2ab-2ab=
(a+b)2-2ab=
(a+b)2-2(a+b)
2)
a3+b3=
a3+b3+3a2b+3ab2-3a2b-3ab2=
(a+b)3-3(a2b+ab2)=
(a+b)3-3ab(a+b)=
(a+b)3-3(a+b)2 (car ab=a+b)
NB:
Il faut garder en tête que le but est de n'avoir qu'un pôlynome en (a+b)
Reprenons:
N(a)=
2(a3+b3)+8(a+b)-(a+b)2-4(a2+b2)-16=
2[(a+b)3-3(a+b)2]+8(a+b)-(a+b)2-4[(a+b)2-2(a+b)]-16
On pose x=a+b par souci de clarté. En regroupant les degrés:
N(x)=2x3-11x2+16x-16
On dérive:
N'(x)=6x2-22x+16
N' s'écrit plus facilement (En utilisant , ou bien, plus facile: en remarquant que 1 est racine évidente... Bref, en factorisant)
N'(x)=(x-1)(6x-16)
Mais x=a+b et je dis que a+b4 (Je le démontrerai plus loin)
Puisque x4, N'(x)
0.
Donc N est croissant.
Or x4
Donc N(x)N(4)
N(4)=
2(4)3-11
(4)2+16
(4)-16=
16(8-11+4-1)=
0
N(4)=0
Donc N(x)0
Donc f(a)0 et donc:
a/(b2+4) + b/(a2+4)1/2
Il faut encore montrer a+b4
Soit
g(a)=a+b=a+a/(a-1)=(a2-a+a)/(a-1)=a2/(a-1)
g'(a)=[2a(a-1)-a2]/(a-1)2=a(a-2)/(a-1)2
g'(a) est positive si a2 et négative si a
2
Donc g est minimale en 2
Le minimum de g est g(2)=22/(2-1)=4
Donc a+b4
Je pense que tu es d'accord: c'est laborieux. Je ne vois pas pour le moment une méthode plus simple, ou plus rapide.
Merci Mwek ; La méthode est un peu complexe mais utile comme même
Merci également pour le temps que tu as coulé en essyant de résoudre
@ sephdar :
Bon ; notre prof de Math nous l'a donné dans un devoir hors classe :p
Mercii à Touuus
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