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Exercice variation
Théorème : soit g une fonction dérivable sur un intervalle I
Pour tout x réel tel que ax + b appartient à I, la fonction f définie par f(x) = g(ax + b) est dérivable sur I et f'(x) =ag'(ax+b)
Application des dérivées composées :
Soit f(x) = (5x+8)^4 et g(x) = racine de 7x + 2 étant deux fonctions définies sur [0;+ infini[
En appliquant le théorème calculer la dérivée de f et de g sur [0;+ infini[
J'ai cet exercice à réaliser, je suis complètement bloqué. Si quelqu'un pourrait me donner des pistes, merci.
Bonsoir !
Tu souhaites appliquer le théorème de l'énoncé aux fonctions f et g pour montrer qu'elles sont dérivables et ensuite calculer leurs dérivées.
ATTENTION : les fonctions f et g de la question ne sont pas les mêmes que celles du théorème.
Je t'aide pour la première fonction et tu essayeras de faire la deuxième seul.
Tu as pour
.
Il faut maintenant repérer qui est f et qui est g et qui sont a et b.
Ici clairement a =5 et b =8 donc
donc .
Maintenant tu prend ton théorème et tu vérifies les hypothèses :
"soit g une fonction dérivable sur un intervalle I" --> vérifie que est bien dérivable sur
"Pour tout réel x tel que ax+b appartient à I" --> tu prends un x dans tel que ax+b est aussi dans
"Alors f définie par f(x) = g(ax+b) est dérivable sur I et f'(x) =ag'(ax+b)" --> tu viens de montrer que f est dérivable et tu n'as plus qu'à calculer la dérivée avec la formule qui est donnée.
Il faut faire pareil pour la fonction g.
Ici l'énoncé est piégeur car il énonce le théorème avec des fonction qui s'appellent f et g comme celles qui sont dans la question alors qu'elles n'ont rien à voir.
Dans l'espoir de t'avoir aidé. Bonne soirée.
Bonsoir,
il est possible que tu sois bloqué à cause des notations de ton cours qui s'emmêlent avec celle de l'exercice.
Je te propose de regarder d'abord la première fonction, qui est définie par f(x) = (5x + 8)^4, en conservant les notations de ton cours.
On a : f(x) = g(5x + 8) avec g(x) = ?
Pardon, j'ai essayé de vérifier qu'il n'y avait pas d'autre réponse mais ça ne se voyait pas.
Je vous laisse.
J'ai du mal avec le forum, j'avais pas vu vos réponses. L'heure se fait tard, je lis et essaye de comprendre vos réponses demain matin. Et je vous fais un retour si j'ai des questions pour la fonction g.
En tout cas merci beaucoup pour votre réponse rapide et le temps que vous m'avez accordé. Bonne soirée à demain 
Bonjour,
Je viens de m'y remettre, on me demande la dérivée de f sur [0;+infini[ mais dans votre réponse vous ne l'a donné pas et je ne sais pas du tout comment m'y prendre pour la calculer...
@co11 @Witaek
Je reviens à mon message précédent. On a donc :
ce qui nous a permis de trouver
g est une fonction polynomiale de degré 4 donc elle est dérivable sur 
donc en particulier elle est aussi dérivable sur [0 ; +
[ --> première hypothèse validée !
Soit .
appartient encore à [0 ; +
[ et enfin appartient aussi à [0 ; +
[ --> deuxième hypothèse validée.
On a validé toutes les hypothèses donc f est dérivable sur [0 ; +[.
Le théorème te donne ensuite la formule pour calculer la dérivée : .
Commençons par déterminer g'.
donc
Maintenant on applique bêtement la forumle : .
Et le tour est joué ! Essaye de faire de même pour la deuxième fonction pour voir si tu as bien compris. N'hésite pas à poser des questions si tu ne comprends pas quelque chose !
ah bah voilà merci j'avais trouvé la bonne dérivée, je vous envoie mes résultats pour la deuxième j'espère avoir bien compris 
Re
Donc g(x) = racine de 7x + 2
où a = 7 et b= 2
je suis bloqué comment trouver g pour f(x) = g(ax+b)
On reprend exactement comme précédemment. Afin de ne pas s'embrouiller dans les notations on va plutôt appeler la fonction h ok ?
Donc
Tu as bien identifié a et b. Maintenant la fonction g que tu cherches c'est la fonction que l'on applique à ax+b.
donc
g(x) = racine de X (7x+2)
g'(x)= X' x 1/(2 x racine de X) = a x 1/(2 x racine de ax+b) = 7 x 1/(2 x racine de 7x+2) = 7/( 2 x racine de 7x+2)
est ce correct après je ne sais pas expliquer pourquoi c'est dérivable si vous pouviez me donner un coup de pouce ahahh?
g(x) = racine de X (7x+2)
Que veut-tu dire par cela ? Je ne suis pas sûr de comprendre.Tes notations sont un peu confuses...
Tout simplement
Pour passer de l'expression rouge à l'expression bleue, on voit bien que la fonction g a remplacé la racine donc
Quel est le domaine de dérivation de la fonction racine carré ? C'est dans ton cours non ?
g(x) = racine de X (7x+2)
g'(x)= X' x 1/(2 x racine de X) = a x 1/(2 x racine de ax+b) = 7 x 1/(2 x racine de 7x+2) = 7/( 2 x racine de 7x+2)
En fait tu as la bonne réponse mais pour les mauvaises raisons.
On a trouvé :
[ (domaine de définition) et dérivable sur ] 0 ; + [ (c'est ça le domaine de dérivabilité) et sa dérivée est (Les concepts de domaine de définition et de dérivabilité sont importants, je t'invite donc à aller jeter un coup d'œil dans ton cours pour bien les comprendre
)
Cela pose un problème car l'exercice nous demande de travailler sur [0 ; +
[ mais pas de panique, car on applique pas directement g'(x) mais g'(ax+b).
Vérifions que ax+b est bien dans le domaine de dérivabilité de g.
x appartient à [0 ; +
[ donc 0
x
donc 0
7x
donc 2
7x+2
on a donc 7x+2 qui appartient à ]0 ; +
[ (car 7x+2 
2 donc strictement positif) donc c'est OK on peut travailler avec x dans [0 ; +[
Ensuite on procède comme précédemment, on a vérifié toutes les hypothèses donc on peut conclure en utilisant la formule du théorème (je rappelle que j'ai renommé la fonction h pour plus de clarté) :
On retombe sur le même résultat que tu m'as donné mais ATTENTION tu as un peu tout mélangé... La fonction g est bien définie par
J'espère avoir été clair ! Bonne soirée
De quoi parles-tu quand tu dis "c'est" ?
Si il s'agit de la fonction h : nous avons vérifié toutes les hypothèses du théorème donc on peut l'appliquer. Ce dernier stipule clairement que "h est dérivable sur I et h'(x) =ag'(ax+b)".
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