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Exercices équations du second degré.
Bonjour, je n'arrive pas à résoudre cette question qui me semble pourtant plus que simple, et ça m'énerve! :p Voilà l'énoncé: " Déterminer les valeurs de r et s afin de satisfaire aux conditions imposées". Première sous-question:"1) La parabole P = y =x^2+2rx+8 comprend le point (-2;3)". Voilà, j'espère que quelqu'un pourra m'aider, merci et bonne journée! 
J'ai une autre question, voilà un autre énoncé que je n'arrive pas à résoudre non plus:La parabole "p= y =2x^2+(r-1)x+r^2-1 admet l'axe des y comme axe de symétrie". En réalité, je ne parviens pas à résoudre ces équations grâce aux informations que l'on me donne... et c'est très handicapant... merci de m'éclairer!
Notons y(x)=2x^2+(r-1)x+r^2-1, je note y(x) au lieu de y pour bien montrer la dépendance en x.
Alors avoir l'axe des ordonnées comme axes de symétrie, cela veut dire : y(-x)=y(x). D'où une mise en équation.
On obtient alors r=1.
En fait, ce résultat était prévisible, car dans l'expression de y(x)=2x^2+(r-1)x+r^2-1, le terme en x² et le terme r²-1 sont deux termes pairs, dont la représentation graphique a l'axe des ordonnées comme axe de symétrie. Et on voit que le terme dérangeant est (r-1)x, et pour le supprimer on doit donc prendre r=1.
Je vous remercie pour vos réponses si rapides et détaillées, mais ce que j'aurais besoin, c'est d'une méthode me permettant de trouver par moi-même la façon de résoudre le problème. Pourriez-vous me l'expliquer s'il vous plait? Merci
D'accord. Nous allons donc reprendre depuis le début en analysant le problème.
Déterminer les valeurs de r et s afin de satisfaire aux conditions imposées". Première sous-question:"1) La parabole P = y =x^2+2rx+8 comprend le point (-2;3)
Déjà notons qu'il y a une petite maladresse, ce n'est pas "P=..." mais plutôt "P : ...". Ça n'a l'air de rien comme ça, mais mettre deux points au lieu d'un "=" ça montre qu'on a compris que P n'est pas l'expression. P est la parabole, P est la représentation graphique de la courbe qui a pour équation : y=x²+2rx+8. Là on met bien un "=" entre le y et le x parce qu'il y a bien une relation d'égalité.
Alors maintenant, demandons-nous : mais qu'est-ce que ça veut dire une courbe qui passe par (-2;3) ?
Cela signifie qu'il existe un point de la courbe, dont les coordonnées (x,y) valent justement (-2;3).
Ça tombe bien, on a justement une relation qui lie x et y. Du coup, on connaît la forme des coordonnées des points de la courbe.
Tous les points de la courbe ont des coordonnées de la forme :
(x ; x^2+2rx+8), par définition de y. Oui, car rappelons que y symbolise l'ordonnée, et x l'abscisse, c'est sous-entendu, même si on ne le précise pas.
Par conséquent, la parabole P passe par (-2;3) signifie qu'il existe un x tel que :
(x ; x^2+2rx+8 ) = (-2 ; 3)
Autrement dit, par identification :
x=-2 et
x^2+2rx+8 =3
En remplaçant x par sa valeur, qui est -2, la deuxième ligne nous donne directement une équation avec aucune autre inconnue que r. On peut donc déterminer r sans problème.
La parabole "p= y =2x^2+(r-1)x+r^2-1 admet l'axe des y comme axe de symétrie".
Pour résoudre ce problème, je pense qu'il est plus commode de voir la parabole P comme représentation graphique d'une fonction f.
Cette fonction est évidemment définie par : f(x)=2x^2+(r-1)x+r^2-1.
Ainsi, les points de P ont pour coordonnée : (x;f(x)).
Que signifie avoir l'axe des y comme axe de symétrie ? Si l'on connaît bien son cours, on sait que cela veut exactement dire que f est paire, c'est-à-dire : f(-x)=f(x), par définition.
On résout donc : f(-x)=f(x), soit :
2(-x)^2+(r-1)(-x)+r^2-1 = 2x^2+(r-1)x+r^2-1
Il vient après simplification :
(r-1)(-x)=(r-1)x
Soit :
2(r-1)x=0
Cette relation doit être vérifiée pour tout x, donc on n'a pas le choix : r=1.
Voilà.
La méthode est en fait toujours la même :
Il y a une question, un problème, une condition à déterminer. La seule manière de le faire est de mettre en équation. C'est l'étape la plus "difficile". La meilleure manière de mettre en équation correctement est de réfléchir aux données que l'on a, et par quelle vision des choses on peut mettre simplement en équation.
Dans le premier exemple, on n'a pas le choix, il suffit de savoir traduire mathématiquement l'expression "une courbe passe par...".
Dans le second exemple, si on se focalise trop sur "axe de symétrie", on risque de ne pas y arriver. On réfléchit, on se demande ce que l'on sait sur les axes de symétrie, et on pense naturellement aux fonctions paires. Puis on essaie de se ramener à l'étude d'une fonction paire pour mettre en équation.
Pour conclure, s'il y a une idée à retenir pour résoudre ce genre de problème, il y a une question à se poser :
Comment traduire mathématiquement mon énoncé pour réussir à établir une équation à résoudre ?
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