Exercice 8
Soit une fonction polynôme P et soit (P) la fonction polynôme : x  P(x
+ 1) - P(x).
1. Calculer (P) lorsque P est un polynôme de degré 0, de degré 1, de
degré 2.
Comparer deg (P ) et deg P sur ces trois cas particuliers.
Formuler un résultat général reliant deg (P) et deg P si deg P  1 et démontrer
ce résultat.
2. Montrer que ²(P) = ((P)) est la fonction polynôme :
x  P(x + 2) - 2P(x + 1) + P(x).
Donner une expression analogue pour 3(P) = (((P))).
3. Que peut-on dire de 3(P) lorsque deg P = 2, puis lorsque deg P =
3 ?
4. Montrer que pour toute fonction polynôme P de degré 3, on a pour
tout réel x :
P(x + 4) + 6P(x + 2) + P(x) = 4[P(x + 3) + P(x + 1)].
5. Application.
Existe-t-il une fonction polynôme P de degré 3 vérifiant :
P(-3) = P(-1) = P(1)
P(-2) = P(0).