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Exo dénombrement et combinatoire
Bonjour, voici un exercice que j'ai à faire pour la semaine prochaine, voici l'énoncé :
Dans une classe composée de 10 filles et 8 garçons, on forme au hasard un groupe sélectionnant au hasard 3 élèves qui seront responsables du coin lecture.
1)Quel est le nombre de groupes possible ?
2) Déterminer, pour un groupe formé (on donnera les résultats sous forme de fractions irréductibles):
a) La probabilité p1 que les 3 élèves choisis soient des filles.
b) La probabilité P2 qu'il y ait au moins un garçon.
c) La probabilité p3 que le groupe soit mixte, c'est à dire qu'il comprenne au moins une fille et un garçon.
3) On forme un tel groupe de 3 élèves lors de chacun des 3 trimestres de l'année scolaire, par tirage au sort. Un même élève peut donc être désigné plusieurs fois. Calculer à 0.001 près, la probabilité p4 qu'au cours de l'année scolaire les 3 groupes formés soient mixtes. On pourra s'aider d'un arbre.
Voici ce que j'ai trouvé :
1) Le nombre de de groupes possibles = (18!/(18!-3!)) Ce qui nous donne 18*17*16 et on obtient 4896
2) a) Pour calculer la probabilité que les 3 élèves soient des filles, il faut calculer (10!/(10!-3!)) Ce qui nous donne 10*9*8=720 possibilités soit = 720/4896 = 5/34.
b) Pour calculer la probabilité qu'il y ait au moins un garçon, il faut faire (8!/1!)(17!/(17!/2!)) Car on choisit obligatoirement 1 garçon au départ, il reste donc 2 élèves à choisir parmis les 17 restants, ce qui nous donne 8*17*16 = 2176 possibilités soit 2176/4896 = 4/9.
c) Pour calculer la probabilité que le groupe soit mixte (avec un garçon et une fille minimum) il suffit de faire (8!/1!)(10!/1!)(16), effectivement au départ on choisit une fille et un garçon, il reste donc encore 16 élèves parmis les 18. On doit donc faire 8*10*16 = 1280 possibilités soit 1280/4896 = 40/153.
3) (pas sûr du tout) Il suffit de multiplier par 3 le nombre de possibilités obtenus a la question 1 soit 4896*3= 14688. On a donc 3840/14688 ce qui donne 0,087.
En vous remerciant d'avance pour votre aide !!
Bonjour,
je n'ai pas le même résultat que vous dès la première question...
On choisit 3 élèves parmi 18. Il y a
groupes possibles soit .
Sauf erreur...
Mais du coup la 2)a) est elle bonne ? Sauf qu'il faut que je mette 720/1632 ? Ou ce serait plutôt (3 parmis 10) ?
Mercii
Il y a 3 parmi 10 façons de choisir 3 éléments dans un ensemble de 10 éléments (ici, les élements sont des filles).
Attention, on te demande une probabilité donc c'est (3 parmi 10 )/1632.
Conseil pour la 2.b) : l'événement "le groupe contient au moins un garçon" est l'événement contraire de...
Par contre pour la première question j'obtiens 816 et pas 1632 personnellement...
En faisant (18*17*16)/6
Par contre pour la première question j'obtiens 816 et pas 1632 personnellement...
En faisant (18*17*16)/6
en effet, erreur de saisie de ma part sur la calculatrice...
D'accord, sans problème,
Pour la question 2)b) je pense avoir trouvé ! Voici ce que j'ai :
J'ai trouvé 696 car (8 x 2parmis 10)+ (2 parmis 8 x 10) + 3 parmis 8. Qu'en pensez vous ?
oui , tu peux dénombrer ainsi mais attention : on te demande des probabilités et pas simplement le nombre de combinaisons qui contiennent au moins un garçon. Il faut diviser par 816.
Note qu'ici, il est plus simple de passer par l'événement contraire (voir post de 14:08).
D'accord je vous remercie, alors
1)816
2)a)120/816 soit 5/34
b)696/816 soit 29/34
Ce qui nous prouve bien ici que c'est les 2 sont événements contraires!
b)696/816 soit 29/34
Ce qui nous prouve bien ici que c'est les 2 sont événements contraires!
N'est-il pas évident que le contraire de "choisir trois filles" est le contraire de "choisir au moins un garçon" ? Il n'y a aucun calcul à faire pour prouver que ces deux événeemnts sont contraires.
Me revoici, désolé :
Alors pour la question c):
On fait (2 parmis 10 * 8) + (2 parmis 8 *10) pour avoir soit 2 filles avec un garçon soit l'inverse, ce qui donne 360+280=640
Soit 640/816 = 40/51
Par contre pour la question 3, je ne comprends pas du tout, pour moi il suffit juste de faire *3 ? Soit 120/153 ce qui donne 0.784
Merciii pour votre aide!
Par contre pour la question 3, je ne comprends pas du tout, pour moi il suffit juste de faire *3 ? Soit 120/153 ce qui donne 0.784
Merciii pour votre aide!
Re, tu as calculé à la question précédente la probabilité qu'un groupe soit mixte.
On forme un tel groupe de 3 élèves lors de chacun des 3 trimestres de l'année scolaire, par tirage au sort. Un même élève peut donc être désigné plusieurs fois.
Tu peux assimiler ça à trois répétitions de l'épreuve "constituer un groupe de 3 élèves" dans des conditions identiques et indépendantes dont le succès est ...
Admettons , on multiplie par 3, parce qu'il y a 3 trimestres.
Maintenant, nouvelle question :
On rechoisit une nouvelle liste de 3 étudiants, non plus à chaque trimestre, mais chaque mois.
On a donc 9 groupes.
Du coup, ta réponse serait 9*(40/51) ?
Tu vois le problème ?
Autre point : quand tu multiplies (40/51) par 3, ça ne donne pas 120/153 , mais 120/???
Autre point encore, à propos de ton tout premier message. Tu écrivais 10!-3!
Non, 10!-3! ou (10-3)! , ce n'est pas la même chose !
Effectivement je vois le problème ...
Mais du coup c'est à dire que vu que l'épreuve est dans des conditions identiques et indépendantes. Dans tous les cas on aura toujours la même probabilité qui est de 40/51 non ?
Effectivement je vois le problème ...
Mais du coup c'est à dire que vu que l'épreuve est dans des conditions identiques et indépendantes. Dans tous les cas on aura toujours la même probabilité qui est de 40/51 non ?
C'est effectivement la même probabilité de tomber sur un groupe mixte à chaque épreuve. Mais ce n'est pas la probabilité d'obtenir 3 groupes mixtes en répétant 3 fois l'épreuve.
Un exemple basique. Tu lances une pièce équilibrée 3 fois de suite. Tu as une probabilité de 1/2 de tomber sur Pile.
Penses-tu pourtant avoir 1 chance sur 2 d'obtenir 3 fois le côté Pile ?
C'est exactement la même situation dans ton exercice avec une proba de 40/51.
Comme te le suggère l'énoncé, fait un arbre pour te rendre compte de la situation...
Bonjour, en faisant l'arbre je vois qu'on a une chance sur deux d'obtenir un groupe mixte en 3 ans...
Je fais soit le choix d'avoir un groupe mixte (2 garçons 1 fille, ou 2 filles 1 garçon) soir d'avoir un groupe non mixte (3 garçons, ou 3 filles)
Je pense que je commence mal mon arbre (car il y a plus de fille que de garçon mais dans ce cas comment bien le faire ...)
Merci d'avance
Ou si non la je suis parti sur le fais qu'on peut faire 6 groupes différents, j'obtiens donc 4/6 d'obtenir un groupe mixte pendant les 3 trimestres.
Tu peux faire un arbre bien plus simple avec seulement 2 événements :
M : constituer un groupe mixte (tu as calculé la probabilité à la question précédente)
: le contraire de M
Et comme il y a répétition dans des conditions identiques et indépendantes (un élève peut être désigné plusieurs fois), la probabilité d'obtenir un groupe mixte est toujours la même pour chaque répétition.
Ou si non la je suis parti sur le fais qu'on peut faire 6 groupes différents, j'obtiens donc 4/6 d'obtenir un groupe mixte pendant les 3 trimestres.
Faux.
Essaie de comprendre mon exemple de cette nuit à 01:28 et adapte la situation à ton problème.
Avec votre exemple on aurait 1 chance sur 4 de faire 3 fois piles ou 3 fois faces si je ne me trompe pas ?
Enfin 1 chance sur 4 si on prend pile dès le départ, si non 1 chance sur 8 si on prend aléatoirement dès le premier tour
Enfin 1 chance sur 4 si on prend pile dès le départ, si non 1 chance sur 8 si on prend aléatoirement dès le premier tour
Pas très clair.
On a effectivement 1 chance sur 8 d'obtenir 3 piles et aussi 1 chance sur 8 d'obtenir 3 faces (ou encore 1/4 d'obtenir 3 fois la même face)...
Maintenant, reprends ton exercice en considérant qu'on a , à chaque fois 40/51 de chances d'obtenir un groupe mixte.
En reprenant l'exercice, on aurait donc 40/51 puis encore 40/51 et encore une dernière fois 40/51.
Ce qui ferait (40*40*40)/(51*51*51)=64 000/132 651 = 0,482
Qu'en pensez vous ?
Mercii encore une fois pour votre aide !
En reprenant l'exercice, on aurait donc 40/51 puis encore 40/51 et encore une dernière fois 40/51.
Ce qui ferait (40*40*40)/(51*51*51)=64 000/132 651 = 0,482
Qu'en pensez vous ?
Mercii encore une fois pour votre aide !
C'est bon.
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