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Exo dénombrement et combinatoire

Posté par
Vtalz
02-10-20 à 12:39

Bonjour, voici un exercice que j'ai à faire pour la semaine prochaine, voici l'énoncé :

Dans une classe composée de 10 filles et 8 garçons, on forme au hasard un groupe sélectionnant au hasard 3 élèves qui seront responsables du coin lecture.
1)Quel est le nombre de groupes possible ?
2) Déterminer, pour un groupe formé (on donnera les résultats sous forme de fractions irréductibles):
a) La probabilité p1 que les 3 élèves choisis soient des filles.
b) La probabilité P2 qu'il y ait au moins un garçon.
c) La probabilité p3 que le groupe soit mixte, c'est à dire qu'il comprenne au moins une fille et un garçon.
3) On forme un tel groupe de 3 élèves lors de chacun des 3 trimestres de l'année scolaire, par tirage au sort. Un même élève peut donc être désigné plusieurs fois. Calculer à 0.001 près, la probabilité p4 qu'au cours de l'année scolaire les 3 groupes formés soient mixtes. On pourra s'aider d'un arbre.

Voici ce que j'ai trouvé :
1) Le nombre de de groupes possibles = (18!/(18!-3!)) Ce qui nous donne 18*17*16 et on obtient 4896

2) a) Pour calculer la probabilité que les 3 élèves soient des filles, il faut calculer (10!/(10!-3!)) Ce qui nous donne 10*9*8=720 possibilités soit = 720/4896 = 5/34.

b) Pour calculer la probabilité qu'il y ait au moins un garçon, il faut faire (8!/1!)(17!/(17!/2!)) Car on choisit obligatoirement 1 garçon au départ, il reste donc 2 élèves à choisir parmis les 17 restants, ce qui nous donne 8*17*16 = 2176 possibilités soit 2176/4896 = 4/9.

c) Pour calculer la probabilité que le groupe soit mixte (avec un garçon et une fille minimum) il suffit de faire (8!/1!)(10!/1!)(16), effectivement au départ on choisit une fille et un garçon, il reste donc encore 16 élèves parmis les 18. On doit donc faire 8*10*16 = 1280 possibilités soit 1280/4896 = 40/153.

3) (pas sûr du tout) Il suffit de multiplier par 3 le nombre de possibilités obtenus a la question 1 soit 4896*3= 14688. On a donc 3840/14688 ce qui donne 0,087.

En vous remerciant d'avance pour votre aide !!

Posté par
pgeod
re : Exo dénombrement et combinatoire 02-10-20 à 13:49

1/ c'est faux.
Un groupe est formé de 3 parmi 18.

Posté par
manu_du_40
re : Exo dénombrement et combinatoire 02-10-20 à 13:52

Bonjour,

je n'ai pas le même résultat que vous dès la première question...
On choisit 3 élèves parmi 18. Il y a \begin{pmatrix} 18\\ 3 \end{pmatrix}
groupes possibles soit \dfrac{18!}{15!(18-15)!}=\dfrac{18.17.16}{6}=1632.
Sauf erreur...

Posté par
Vtalz
re : Exo dénombrement et combinatoire 02-10-20 à 13:52

D'accord je vais tout reprendre alors...
Merci pour votre aide !

Posté par
manu_du_40
re : Exo dénombrement et combinatoire 02-10-20 à 13:52

posts croisés pgeod désolé.

Posté par
Vtalz
re : Exo dénombrement et combinatoire 02-10-20 à 13:56

Mais du coup la 2)a) est elle bonne ? Sauf qu'il faut que je mette 720/1632 ? Ou ce serait plutôt (3 parmis 10) ?
Mercii

Posté par
manu_du_40
re : Exo dénombrement et combinatoire 02-10-20 à 14:03

Il y a 3 parmi 10 façons de choisir 3 éléments dans un ensemble de 10 éléments (ici, les élements sont des filles).

Posté par
Vtalz
re : Exo dénombrement et combinatoire 02-10-20 à 14:06

D'accord donc c'est bien 3 parmis 10, je continue ça dès que je suis cher moi !
Mercii beaucoup

Posté par
manu_du_40
re : Exo dénombrement et combinatoire 02-10-20 à 14:08

Attention, on te demande une probabilité donc c'est (3 parmi 10 )/1632.

Conseil pour la 2.b) : l'événement "le groupe contient au moins un garçon" est l'événement contraire de...

Posté par
Vtalz
re : Exo dénombrement et combinatoire 02-10-20 à 14:12

Par contre pour la première question j'obtiens 816 et pas 1632 personnellement...
En faisant (18*17*16)/6

Posté par
manu_du_40
re : Exo dénombrement et combinatoire 02-10-20 à 16:01

Vtalz @ 02-10-2020 à 14:12

Par contre pour la première question j'obtiens 816 et pas 1632 personnellement...
En faisant (18*17*16)/6


en effet, erreur de saisie de ma part sur la calculatrice...

Posté par
Vtalz
re : Exo dénombrement et combinatoire 02-10-20 à 16:12

D'accord, sans problème,
Pour la question 2)b) je pense avoir trouvé ! Voici ce que j'ai :
J'ai trouvé 696 car (8 x 2parmis 10)+  (2 parmis 8 x 10) + 3 parmis 8. Qu'en pensez vous ?

Posté par
manu_du_40
re : Exo dénombrement et combinatoire 02-10-20 à 16:29

oui , tu peux dénombrer ainsi mais attention : on te demande des probabilités et pas simplement le nombre de combinaisons qui contiennent au moins un garçon. Il faut diviser par 816.

Note qu'ici, il est plus simple de passer par l'événement contraire (voir post de 14:08).

Posté par
Vtalz
re : Exo dénombrement et combinatoire 02-10-20 à 16:39

D'accord je vous remercie, alors
1)816
2)a)120/816 soit 5/34
b)696/816 soit 29/34
Ce qui nous prouve bien ici que c'est les 2 sont événements contraires!

Posté par
manu_du_40
re : Exo dénombrement et combinatoire 02-10-20 à 19:57

Vtalz @ 02-10-2020 à 16:39


b)696/816 soit 29/34
Ce qui nous prouve bien ici que c'est les 2 sont événements contraires!


N'est-il pas évident que le contraire de "choisir trois filles" est le contraire de "choisir au moins un garçon" ? Il n'y a aucun calcul à faire pour prouver que ces deux événeemnts sont contraires.

Posté par
Vtalz
re : Exo dénombrement et combinatoire 02-10-20 à 20:18

Oui je suis d'accord, c'était juste une remarque inutile ce que j'ai marqué...

Posté par
manu_du_40
re : Exo dénombrement et combinatoire 02-10-20 à 21:07

Ok. Tu continues ?

Posté par
Vtalz
re : Exo dénombrement et combinatoire 03-10-20 à 00:17

Me revoici, désolé :
Alors pour la question c):
On fait (2 parmis 10 * 8) + (2 parmis 8 *10) pour avoir soit 2 filles avec un garçon soit l'inverse, ce qui donne 360+280=640
Soit 640/816 = 40/51

Posté par
Vtalz
re : Exo dénombrement et combinatoire 03-10-20 à 00:25

Par contre pour la question 3, je ne comprends pas du tout, pour moi il suffit juste de faire *3 ? Soit 120/153 ce qui donne 0.784
Merciii pour votre aide!

Posté par
manu_du_40
re : Exo dénombrement et combinatoire 03-10-20 à 00:55

Vtalz @ 03-10-2020 à 00:25

Par contre pour la question 3, je ne comprends pas du tout, pour moi il suffit juste de faire *3 ? Soit 120/153 ce qui donne 0.784
Merciii pour votre aide!


Re, tu as calculé à la question précédente la probabilité qu'un groupe soit mixte.

On forme un tel groupe de 3 élèves lors de chacun des 3 trimestres de l'année scolaire, par tirage au sort. Un même élève peut donc être désigné plusieurs fois.

Tu peux assimiler ça à trois répétitions de l'épreuve "constituer un groupe de 3 élèves" dans des conditions identiques et indépendantes dont le succès est ...

Posté par
ty59847
re : Exo dénombrement et combinatoire 03-10-20 à 01:03

Admettons , on multiplie par 3, parce qu'il y a 3 trimestres.
Maintenant, nouvelle question :
On rechoisit une nouvelle liste de 3 étudiants, non plus à chaque trimestre, mais chaque mois.
On a donc 9 groupes.  
Du coup, ta réponse serait 9*(40/51) ?  
Tu vois le problème ?

Autre point : quand tu multiplies (40/51) par 3, ça ne donne pas 120/153 , mais 120/???  

Autre point encore, à propos de ton tout premier message. Tu écrivais 10!-3!  
Non,  10!-3!  ou (10-3)! , ce n'est pas la même chose !

Posté par
Vtalz
re : Exo dénombrement et combinatoire 03-10-20 à 01:18

Effectivement je vois le problème ...
Mais du coup c'est à dire que vu  que l'épreuve est dans des conditions identiques et indépendantes. Dans tous les cas on aura toujours la même probabilité qui est de 40/51 non ?

Posté par
Vtalz
re : Exo dénombrement et combinatoire 03-10-20 à 01:19

Je continue demain, bonne soirée à vous et merci énormément pour votre aide !

Posté par
manu_du_40
re : Exo dénombrement et combinatoire 03-10-20 à 01:28

Vtalz @ 03-10-2020 à 01:18

Effectivement je vois le problème ...
Mais du coup c'est à dire que vu  que l'épreuve est dans des conditions identiques et indépendantes. Dans tous les cas on aura toujours la même probabilité qui est de 40/51 non ?


C'est effectivement la même probabilité de tomber sur un groupe mixte à chaque épreuve. Mais ce n'est pas la probabilité d'obtenir 3 groupes mixtes en répétant 3 fois l'épreuve.

Un exemple basique. Tu lances une pièce équilibrée 3 fois de suite. Tu as une probabilité de 1/2 de tomber sur Pile.
Penses-tu pourtant avoir 1 chance sur 2 d'obtenir 3 fois le côté Pile ?
C'est exactement la même situation dans ton exercice avec une proba de 40/51.
Comme te le suggère l'énoncé, fait un arbre pour te rendre compte de la situation...

Posté par
Vtalz
re : Exo dénombrement et combinatoire 03-10-20 à 12:20

Bonjour, en faisant l'arbre je vois qu'on a une chance sur deux d'obtenir un groupe mixte en 3 ans...
Je fais soit le choix d'avoir un groupe mixte (2 garçons 1 fille, ou 2 filles 1 garçon) soir d'avoir un groupe non mixte (3 garçons, ou 3 filles)
Je pense que je commence mal mon arbre (car il y a plus de fille que de garçon mais dans ce cas comment bien le faire ...)
Merci d'avance

Posté par
Vtalz
re : Exo dénombrement et combinatoire 03-10-20 à 12:25

Ou si non la je suis parti sur le fais qu'on peut faire 6 groupes différents, j'obtiens donc 4/6 d'obtenir un groupe mixte pendant les 3 trimestres.

Posté par
manu_du_40
re : Exo dénombrement et combinatoire 03-10-20 à 15:30

Tu peux faire un arbre bien plus simple avec seulement 2 événements :
M : constituer un groupe mixte (tu as calculé la probabilité à la question précédente)

\overline{M} : le contraire de M

Et comme il y a répétition dans des conditions identiques et indépendantes (un élève peut être désigné plusieurs fois), la probabilité d'obtenir un groupe mixte est toujours la même pour chaque répétition.

Posté par
manu_du_40
re : Exo dénombrement et combinatoire 03-10-20 à 15:32

Vtalz @ 03-10-2020 à 12:25

Ou si non la je suis parti sur le fais qu'on peut faire 6 groupes différents, j'obtiens donc 4/6 d'obtenir un groupe mixte pendant les 3 trimestres.

Faux.
Essaie de comprendre mon exemple de cette nuit à 01:28 et adapte la situation à ton problème.

Posté par
Vtalz
re : Exo dénombrement et combinatoire 03-10-20 à 16:10

Avec votre exemple on aurait 1 chance sur 4 de faire 3 fois piles ou 3 fois faces si je ne me trompe pas ?

Posté par
Vtalz
re : Exo dénombrement et combinatoire 03-10-20 à 16:15

Enfin 1 chance sur 4 si on prend pile dès le départ, si non 1 chance sur 8 si on prend aléatoirement dès le premier tour

Posté par
manu_du_40
re : Exo dénombrement et combinatoire 03-10-20 à 16:32

Vtalz @ 03-10-2020 à 16:15

Enfin 1 chance sur 4 si on prend pile dès le départ, si non 1 chance sur 8 si on prend aléatoirement dès le premier tour


Pas très clair.
On a effectivement 1 chance sur 8 d'obtenir 3 piles et aussi 1 chance sur 8 d'obtenir 3 faces (ou encore 1/4 d'obtenir 3 fois la même face)...

Maintenant, reprends ton exercice en considérant qu'on a , à chaque fois 40/51 de chances d'obtenir un groupe mixte.

Posté par
Vtalz
re : Exo dénombrement et combinatoire 03-10-20 à 16:44

En reprenant l'exercice, on aurait donc 40/51 puis encore 40/51 et encore une dernière fois 40/51.
Ce qui ferait (40*40*40)/(51*51*51)=64 000/132 651 = 0,482
Qu'en pensez vous ?
Mercii encore une fois pour votre aide !

Posté par
manu_du_40
re : Exo dénombrement et combinatoire 03-10-20 à 16:52

Vtalz @ 03-10-2020 à 16:44

En reprenant l'exercice, on aurait donc 40/51 puis encore 40/51 et encore une dernière fois 40/51.
Ce qui ferait (40*40*40)/(51*51*51)=64 000/132 651 = 0,482
Qu'en pensez vous ?
Mercii encore une fois pour votre aide !


C'est bon.

Posté par
Vtalz
re : Exo dénombrement et combinatoire 03-10-20 à 16:55

D'accord merciii pour votre aide pendant tout le long de l'exercice !

Posté par
manu_du_40
re : Exo dénombrement et combinatoire 03-10-20 à 17:02

pas de souci



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