Bonjour,

je me lance

Il y a trois choix (car trois cases) pour chaque bille donc il y a 3*3=9
possibilités de placer deux billes dans les trois cases.

Si il n'y a pas de boules dans la case centrale, cela signifie
qu'il n'y a plus que deux choix pour chaque bille donc
2*2=4 cas favorables.

En utilisant la formule d'équiprobabilité (que l'on peut supposer
même si ça n'est pas précisé dans l'énoncé) :
proba = nb cas favorables / nb de cas possibles
On obtient :
P = 4/9.

Autre façon beaucoup plus expérimentale :
Supposons qu'une des billes est noire (N) et l'autre rouge (R).
Ecrivons tous les cas en séparant les cases par des - et en mettant 0 s'il
n'y a pas de boules, on trouve les cas suivants :

0 - 0 - NR
N - 0 - R
R - 0 - N
NR - 0 - 0
0 - N - R
0 - R - N
0 - NR - 0
R - N - 0
N - R - 0

On retrouve les 9 cas.

Parmi ceux-là, les 4 premiers correspondent à l'événement.

Ma réponse est donc la suivante :
P = 4/9.

@+

Raisonnement 1.

Proba que la bille 1 soit mise ailleur que dans la case centrale = 2/3
Idem pour la bille 2.

-> Proba case centrale vide = (2/3)² = 4/9
----------
Raisonnement 2.

Les cas possibles de billes dans les 3 cases sont de manière exhaustive:

101
200
002
020
110
011

Il y a donc 2 cas sur 6 avec la case centrale vide -> proba de 1/2
----------
Pour moi, le raisonnement 2 est faux car les cas ne sont pas également
probables. Cela se "sent" si on différencie les 2 boules.

Donc ma réponse est 4/9.

A+  

Merci tout d'abord à J-P et à Victor pour avoir répondu.
Voici à présent ce que je pensais et ce que mon prof pensait.


LE RAISONNEMENT DE MON PROF

Mon prof a adopté le raisonnement 2 de J-P. L'ensemble des cas
possibles est bien de 6 et il y en a 3 qui vérifient l'évènement
E "la case centrale est vide" : on en conclurait donc que p(E)=1/2.

Seulement le "hic", de cette méthode comme l'a fait remarqué J-P (et
je suis d'accord avec lui) c'est que si l'on a bien
6 cas, certains cas ont plus de possibilités (et donc de
probabilité) d'aparaître que d'autres : on est donc
pas en situation d'équiprobabilité, et chaque cas n'a
pas une probabilité de 1/6 comme on pourrait le croire : il en
résulte que la probas p(E)=1/2 est fausse.

MON RAISONNEMENT
J'en ai eu plusieurs pour tenter de justifie mon cas de plusieurs manières.

1) On a 3 cases dans lesquelles peuvent aller deux billes. Pour que
chacune des billes n'aille pas dans la case centrale (et donc
que l'évènement E "la case centrale est vide" soi réalisé)
on a donc 2 possibilité sur 3 (pour chacune des billes). Donc :
p(E)=2/3 * 2/3 = 4/9

(C'est le raisonnement de Victor et raisonnement 1 de J-P)

2)J'ai également essayé la méthode de différencier les boules (comme J-P
ou Victor avec 1 boule noire et 1 boule rouge), mais comme l'énoncé
ne précise pas que les billes peuvent être différenciées mon prof
a considéré cette méthode comme irrecevable.

3)J'ai ensuite aussi essayer l'arbre :
    
GG            MG             DG
GM            MM             DM
GD            MD             DD
Mais là aussi il n'a pas aimé mon énoncé car je faisais une distinction
entre première bille et deuxième bille.

4)Voici une méthode à laquelle j'ai eu le temps de penser durant l'après-midi
et que je ne lui ai donc pas encore proposé. Pour que la case centrae
soit vide, il faut que aucune des deux billes n'y soit placée.
Or chacune des billes est placée au hasard parmis les trois cases.
On obtient donc le taleau suivant (et je pense que celui-ci ne fait
aucune distinction) :

          G        M      D

G       GG     GM     GD
M       MG     MM    MD
D       DG      DM    DD

Voilà ce tableau confirme notre résultat de 4/9 et en même temps, il montre
la "faiblesse" du raisonnement 2 (selon moi  car je me trompe peut-être):
On réobtient bien les 6 cas possible mais on remarques que les possibilités
d'obtenir chacun varient :

xx-0-0 SSI  GG (donc 1 possibilité(s) sur 9)
0-xx-0 SSI  MM (donc 1 possibilité(s) sur 9)
0-0-xx SSI  DD (donc 1 possibilité(s) sur 9)
x-x-0   SSI  GM ou MG (donc 2 possibilité(s) sur 9)
x-0-x   SSI  GD ou DG  (donc 2 possibilité(s) sur 9)
0-x-x   SSI  MD ou DM (donc 2 possibilité(s) sur 9)

On voit donc bien que le raisonnement 2 de J-P, comme il le signale
lui même est faux puisque nous ne sommes plus en situation d'équiprobabilité.
Cependant on remarque qu'il est possible de retomber sur notre
résultat. En effet, en additionant les probas de chacun des 3 cas
possibles pour que l'évenement E soit réalisé (1ere 3eme et
5eme ligne ci-dessus), on retombe bien sur :

p(E)=4/9

Ceci justifie notre raisonnement.

Voilà je pense que mon raisonnement est juste (même s'il est toujous
possible que je me trompe). Je remercie une fois de plus J-P et Victor
pour leurs raisonnements.      

Si ce n'est pas trop demandé, j'aimerais que d'autres
personnes (et même Victor et J-P) me disent s'ils voient une
erreur ou non dans mon raisonnement et s'ils sont d'accord
avec celui-ci  ou plutot avec celui de mon prof. Je précise d'ailleurs
qu'il ne s'agit pas d'un conflit élève-prof , comme
certains l'ont peut être cru, mais juste une confrontation de
2 raisonnements pour savoir lequel est bon.

Merci d'avance et à plus .

Bravo Belge*FDLE pour ces brillantes démonstrations.

Ton dernier raisonnement est juste mais tous ces raisonnements reviennent
au même, c'est simplement la présentation qui change.

Si ton prof n'est pas convaincu avec ça, n'insiste pas

Les profs de maths sont parfois de mauvaise foi et il ne faut pas les
contrarier

A bientôt.

Je n'ai pas grand chose à ajouter, le raisonnement 2 de ma réponse
précédente est bel et bien faux.

Si on veut utiliser ce type de raisonnement, on doit tenir compte de
la probabilité liée à chaque cas.

On aurait alors:

La probabilé des cas marqués  101 , 110 et 011  est double de celle
des cas marqués 200 , 002 et 020

(car A0B et B0A sont 2 possibilités différentes en marquant les boules
A et B (et même si les boules sont indicernables car elles n'en
restent pas moins des entités différentes)).

On a donc:
101   ;   P = 2.P1
200   ;   P = P1
002   ;   P = P1
020   ;   P = P1
110   ;   P = 2.P1
011   ;   P = 2.P1

La proba de la case centrale vide est alors:
(2P1 + P1 + P1) / (2P1 + P1 + P1 + P1 + 2Pi + 2P1) = 4/9

et on retombe (heureusement) sur le même résultat que par le raisonnement
1.

A+    

Bonjour,


Précisons que j'avais cherché l'exercice avant de lire les réponses
de Victor et de J.P (tu n'avais pas encore reposté). J'avais
raisonné à l'aide d'un arbre et j'étais arrivé à la
même probabilité de 4/9.
Je me contenterai d'apporté quelques éléments au débat (si cela
est encore possible...). Je souhaite développer dans trois directions:
- faire préciser comment le hasard est généré
- proposer d'autres expériences similaires pour "décaler le regard"
et peut-être "redresser la pensée" ?
- confusion modèle / situation



Au hasard ?
Remarquons que l'expérience aléatoire n'est pas entièrement décrite.
La phrase "on place deux billes dans les trois cases au hasard"
ne dit pas comment on réalise pratiquement la répartition aléatoire.

Il est possible que des interprétations différentes sur la "génération
du hasard" peuvent conduire à des espaces probabilisés différents:
voir le paradoxe de Joseph Bertrand (je n'ai plus les détails
sous la main).

En toute rigueur, l'expérience aléatoire ne peut être entièrement
décrite que si on a précisé comment se faisait le choix aléatoire.
Dans certains cas, la précision est superflue: "on lance deux dés"
Par contre, on ne dit pas "on tire au hasard deux boules d'une
urne" mais on précise "on tire deux boules simultanément" ou "on
tire une boule, on la remet dans l'urne, on tire une seconde
boule"

Comment est faite la répartition aléatoire dans ton exercice ? Contrairement
aux dés, aux urnes, il n'y a pas de dispositif physique "naturel"
qui permette la répartition aléatoire: il faut le décrire explicitement.
Toutes les procédures "raisonnables" imaginées conduisent à la solution
de Victor et J.P. Tu devrais poser la question à ton prof, puisque
quand aura une réponse, il sera alors facile de faire une simulation...


Première méthodologie:
Dans une urne, on met le numéro des cases 1, 2 (case centrale), 3
On tire un numéro et place une boule (peu importe qu'elle soit
indicernable) dans la case correspondante
Après remise du numéro, on re-tire un numéro et on place la seconde boule.
=> on obtient 4/9


Seconde méthodologie (pour faire plaisir au prof)
On place dans une urne 6 cartons (indicernable au touché). Sur chacun,
on a dessiné un schéma représentant une des dispositions finales
possibles données par J.P.
101    200    002    020    110    011
On tire un carton au hasard et on dispose les boules sur le carton.
=> On obtient la probabilité de ton prof.

Ce second dispositif est admissible s'il est décrit explicitement...

Mais est-ce une "bonne" modélisation ? Tu imagines ce qu'il donne
au loto nationnal... Deux possibilités pour les résultats: GAGNE
ou PERDU. Malheureusement, il n'y a pas une chance sur deux
de gagner.



Equiprobabilité abusive
Je te propse plusieurs exercices de réflexion. Qu'en pense ton
prof ?

Exercice 1
On lance simultanément deux pièces INDISCERNABLES de 1 euro.
Quelle est la probabilité d'avoir deux faces ?


Exercice 2
On lance simultanément deux pièces: l'une de 1 euro, l'autre
de 2 euros.
Quelle est la probabilité d'avoir deux faces ?


Exercice 3
On place deux billes dans les deux cases au hasard (on peut en mettre
2 dans une même case)
Quelle est la probabilité pour que la case de droite soit vide?

Ton raisonnement devrait conduire à 1/4 et celui du prof à 1/3

Mais si tu appelles la case de gauche Face et la case de droite Pile,
le problème est équivalent à lancer simultanément deux pièces et
à calculer la probabilité d'avoir deux FACES


Exercice 4
Belge*FDLE (élève très intéressé par les probabilités) réalise l'expérience
suivante:
"Il place deux billes dans les trois cases au hasard."
Il crie le résultat à son prof (qui est dans la salle voisine)
101    200    002    020    110    011"
Le prof peut-il savoir si l'expérience est réalisée avec des boules
de couleurs différentes ou des boules indicernables ?



Confusion modèle / situation
Pour une expérience aléatoire entièrement décrite, le modèle probabiliste
n'est pas unique. Dans ton exercice, plusieurs univers sont
possibles:
101    200    002    020    110    011
ou encore
GG            MG             DG
GM            MM             DM
GD            MD             DD
mais si l'expérience aléatoire qu'ils décrivent est la même,
les événements élémentaires ne sont pas équiprobables dans les deux
cas...


La modélisation d'une situation à l'aide des probabilité relève
de choix plus ou moins explicite.
Par exemple, si on souhaite modéliser les naissances de filles ou de
garçons dans une population:
- on peut faire le choix de l'équiprobabilité P("Fe") = P("G")
= 0,5
- choisir P("Fille") = 0,48     P("garçon") = 0,52
Pourquoi ce dernier choix ? Simplement parce qu'on retrouve cette proportion
dans la plupart des pays du monde...





En espérant avoir fait avancer le débat. Mais quoiqu'il en soit,
la solution de l'exercice a été donné par Victor
"Les profs de maths sont parfois de mauvaise foi et il ne faut pas les
contrarier"

Bon tout d'abord merci à tous,

J'adore la phrase de J-P et même si les boules sont indicernables car
elles n'en restent pas moins des entités différentes, au
même titre que le raisonnement de Victor et que la quasi-dissertation
de siOk (surtout la partie sur l'équiprobabilité abusive
). J'ai d'ailleurs essayé de proposer l'expérience
des deux pièces lancées en l'air et il est clair que le raisonnement
qui conduirait à 1/3 est faux. Mais bon, mon prof a également rejeté
cette expérience en disant qu'on ne modélise pas une expérience
aléatoire par une autre.

Par contre pour ce qui est du paradoxe de Joseph Bertrand :

Il montre que l'on peut manipuler sans s'en apercevoir plusieurs
espaces probabilisables à la suite d'un énoncé trop vague.

(et c'est sûr qu'il est vague cet énoncé, mais je l'ai
recopié mot pour mot)

j'ai fait quelques recherches, et je ne pense pas que l'on
tombe dessus ici : que l'on lache les deux boules en meme temps,
ou qu'on les places une à une,  elles ont chacune, et dans chaque
cas, trois possibilités au moment où elles sont lâchées.

À titre d'exemple, j'ai réalisé une simulation de cette expérience
sur Excel que je vous invite à downloader :

http://www.geocities.com/kevazerty/probaexo.zip
(copier-coller l'adresse dans le navigateur)

Il fait 44 ko.


Dîtes-moi ce que vous en pensez si ça ne vous dérange pas. J'aimerais
bien aussi que Océane donne son avis sur cette question, si ce n'est
pas trop lui demander.
Merci d'avance et à +.


PS : certains vont penser que je fais beaucoup de bruit pour un simple
exercice, seulement ici, c'est bien plus important qu'un
"simple exercice" : il s'agit d'une manière de raisonner.
Or prendre une mauvaise manière de raisonner dès nos premiers exos
en probas, vous imaginez bien que 1 an de plus à appliquer un mauvais
raisonnement peut avoir des conséquences "dangereuses"  non seulement
pour mon BAC, mais également celui des amis qui sont dans ma classe
(et je rappelle qu'il se peut que mon raisonnent soit faux bien
que je sois de plus en plus convaincu qu'il est juste).

Je m'incline devant la taille de vos résonnements et vous présente
humblement le mien.
Nous disons donc qu'il y a 2 boules, chacune pouvant tomber dans 1 des
3 cases.
1 boules a donc 1/3 chance de tomber dans 1 case, peut importe laquelle.
Comme il y a 2 boules, on pose le calcul suivant : 1/3 x 1/3 qui est égal
a (je prends ma calculette) = 1/9. Tirez en vos conclusion quant
a ma réponse tout en gardant bien en vu que je n'ai jamais fait de
probabilité ; Vous serez donc bien évidemment indulgent (n'es pas
Belge*FDLE) car c'est juste l'avis d'un simple amateur
de maths qui a préféré la voie du commerce (ES).
Voila le belge je t'avais dit ce matin que je passerai, c'est
maintenant chose faite!!!!

non plus serieusement je pense ke ce n'est pas parce ke les
boules on la meme couleur ke ce sont les meme et ke l'on peut
donc les confondres, elles sont bien distinctes l une de l autre
c pour cela que si la couleur ne lui plait pas on peut donner des
noms au boules: Boule et Boule'

0   - 0 - BB'
B   - 0 - B'
B'  - 0 - B
BB'- 0 - 0
0   - B - B'
0   - B' - B
0   - BB' - 0
B   - B' - 0
B'  - B - 0