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exo stats 1ere S

Posté par
thomaspcen 27-12-18 à 10:51

Bonjour,
j'ai un problème avec cet exercice :

Soient p un entier naturel non nul, a et b des réels.
X désigne une série statistique dont on connaît la distribution des fréquences (xi;fi) pour 1ip.
On considère la série Y dont la distribution des fréquences est (yi;fi) avec yi = axi + b pour 1ip.
On note \overline{x} et \overline{y} les moyennes respectives de X et Y, Vx et Vy les variances respectives de X et Y.

1) Démontrer que \overline{y} = a\overline{x} + b et Vy = a² Vx

pour démonter que \overline{y} = a\overline{x} + b j'ai fait :
\overline{x} =\dfrac{1}{p}\sum\limits_{i=1}^p n_{i}x_{i}
\overline{y} =\dfrac{1}{p}\sum\limits_{i=1}^p n_{i}y_{i}

Or yi = axi + b
Donc
\overline{y} =\dfrac{1}{p}\sum\limits_{i=1}^p \\ n_{i} * (ax_{i} + b) \\ = \overline{y} =\sum\limits_{i=1}^p \\ f_{i}ax_{i}+f_{i}b = \overline{y}
= \sum\limits_{i=1}^p \\ a\overline{x} + b et c'est là que j'ai un doute

Merci de votre aide

Posté par
thomaspcenre : exo stats 1ere S 27-12-18 à 11:40

En revanche, j'ai réussi à démonter que Vy = a² Vx grâce à  \overline{y} = a\overline{x} + b et yi = axi + b

Posté par
caritare : exo stats 1ere S 27-12-18 à 11:51

bonjour

ici, ce sont des fréquences, pas des effectifs
\overline{x} =\sum\limits_{i=1}^px_{i}f_{i}


\overline{y} =\sum\limits_{i=1}^py_{i}f_{i} = \sum\limits_{i=1}^p (a x_{i}+b) f_{i}  =

Posté par
heklare : exo stats 1ere S 27-12-18 à 11:52

Bonjour

On vous donne f_i par conséquent

\displaystyle \overline{x}=\sum_{i=1}^{i=p} f_ix_i

\displaystyle \overline{y}=\sum_{i=1}^{i=p} f_iy_i

\displaystyle \overline{y}=\sum_{i=1}^{i=p} f_iy_i=\sum_{i=1}^{i=p} f_i(ax_i+b)=\sum_{i=1}^{i=p} a\times f_i  x_i+f_ib

\displaystyle \overline{y}=\sum_{i=1}^{i=p} a f_i x_i+\sum_{i=1}^{i=p} f_ib

Posté par
heklare : exo stats 1ere S 27-12-18 à 11:54

Bonjour carita  et bonnes fêtes de fin d'année

je vous laisse continuer

Posté par
caritare : exo stats 1ere S 27-12-18 à 11:55

bonjour hekla

merci, et bonnes fêtes à vous aussi
vous pouvez continuer à suivre ce topic, je ne faisais que passer, pas sûr que je puisse rester bien longtemps.

Posté par
caritare : exo stats 1ere S 27-12-18 à 12:09

thomaspcen, tu as su terminer ?

Posté par
thomaspcenre : exo stats 1ere S 27-12-18 à 12:25

carita oui, j'ai utilisé les fréquences mais on a
\overline{y} =\sum\limits_{i=1}^p f_{i}ax_{i}+f_{i}b

soit \overline{y} =\sum\limits_{i=1}^p a\overline{x}+f_{i}b

Posté par
caritare : exo stats 1ere S 27-12-18 à 12:43

sans parenthèses, ce qui est écrit est faux.

\overline{y} =\sum\limits_{i=1}^p (a\overline{x}+f_{i}b )

pour conclure, utilise les règles de calcul sur sigma

\sum_{i=1}^{i=n}{c x_i} = c \sum_{i=1}^{i=n}{x_i} \\ \\ \sum_{i=1}^{n}{c} = n c \\ \\ \sum_{i=1}^{n}{(x_i + y_i)} = \sum_{i=1}^{n}{x_i} + \sum_{i=1}^{n}{y_i}

Posté par
caritare : exo stats 1ere S 27-12-18 à 12:48

oups, je rectifie une bourde

\overline{y} =\sum\limits_{i=1}^p (a  x_i f_i + f_{i}b )

Posté par
thomaspcenre : exo stats 1ere S 27-12-18 à 13:49

On a pas encore étudié ces règles donc je sais pas si c'est attendu dans l'exo

je ne vois pas trop comment les utiliser pour me débarrasser de fib

Posté par
caritare : exo stats 1ere S 27-12-18 à 14:15

tu as commencé à travailler avec le symbole sigma, dans ta réponse.
si tu n'as pas encore vu toutes les règles dans le cours,
peut-être es-tu censé faire des recherches pour les trouver ?

sinon, tu peux aussi les établir à l'aide de la forme développée.

exemple :           {\sum_{i=1}^{n}{x_i}} =\underbrace{x_1 + x_2 + x_3 + ... x_n}_{\text{n termes}}

Posté par
caritare : exo stats 1ere S 27-12-18 à 14:16

{\sum_{i=1}^{n}{x_i}} =\underbrace{x_1 + x_2 + x_3 + ... + x_n}_{\text{n termes}}

Posté par
thomaspcenre : exo stats 1ere S 27-12-18 à 14:26

Je pense que je vais quand même essayer d'utiliser les règles mais je ne vois pas trop comment ça peut m'aider à éliminer fib

Posté par
thomaspcenre : exo stats 1ere S 27-12-18 à 14:26

enfin juste du fi devant le b

Posté par
caritare : exo stats 1ere S 27-12-18 à 14:29

pour y voir plus clair,
commence par écrire en développé la somme suivante :   \sum\limits_{i=1}^p f_{i}b

Posté par
thomaspcenre : exo stats 1ere S 27-12-18 à 14:30

f1b+f2b+f3b+...+fib

Posté par
caritare : exo stats 1ere S 27-12-18 à 14:31

thomaspcen @ 27-12-2018 à 14:30

f1b+f2b+f3b+...+fnb


ok, factorise b à présent (tu peux, puisque c'est une constante)

Posté par
thomaspcenre : exo stats 1ere S 27-12-18 à 14:32

b(f1+f2+f3+...+fi)

Posté par
caritare : exo stats 1ere S 27-12-18 à 14:35

l'indice du dernier terme est n, et non pas i  (déjà dit)

... et la somme des fréquences dans une série statistique, elle est égale à combien ?

Posté par
thomaspcenre : exo stats 1ere S 27-12-18 à 14:37

n

Posté par
caritare : exo stats 1ere S 27-12-18 à 14:41

ah que non !

on parle de fréquences, pas d'effectifs.
fais une petite recherche de ton coté, je recherche un lien pour te montrer

Posté par
thomaspcenre : exo stats 1ere S 27-12-18 à 14:42

1 ?

Posté par
caritare : exo stats 1ere S 27-12-18 à 14:42

Cours de Statistiques

Posté par
caritare : exo stats 1ere S 27-12-18 à 14:42

oui, 1

et donc \sum\limits_{i=1}^p f_{i}b = ..?

Posté par
thomaspcenre : exo stats 1ere S 27-12-18 à 14:43

ah oui donc c'est b*1...

Posté par
caritare : exo stats 1ere S 27-12-18 à 14:44

donc b

selon la mm procédure,
montre moi ton étude pour   \sum\limits_{i=1}^p (a  x_i f_i )

Posté par
thomaspcenre : exo stats 1ere S 27-12-18 à 14:47

\sum\limits_{i=1}^p (a  x_i f_i ) =a \sum\limits_{i=1}^p (x_i f_i )=a\overline{x}

Posté par
caritare : exo stats 1ere S 27-12-18 à 14:51

oui, on factorise a, puis on reconnait que \sum\limits_{i=1}^p (x_i f_i ), la somme des produits xi .fi,
c'est la moyenne de x.

Posté par
thomaspcenre : exo stats 1ere S 27-12-18 à 14:53

D'accord, merci

Posté par
caritare : exo stats 1ere S 27-12-18 à 14:59

pour faire la jonction, tu peux rédiger le début comme suit.

{\sum_{i=1}^{n}{(y_i.f_i) }}= ... \\ \\ = {\sum_{i=1}^{n}{(a x_if_i + b f_i)}} \\ \\ =\underbrace{(a x_1f_1 +b f_1) + (a x_2f_2 +b f_2 ) + ... + (a x_nf_n +b f_n)}_{\text{n termes}} \\ \\ \\ = a(x_1f_1 + x_2f_2 + ... + x_nf_n) + b ( f_1 + f_2 + ... + f_n) \\ \\ = .etc...

évidemment, ça va plus vite avec les règles de calcul sur sigma.

bonne suite !

Posté par
thomaspcenre : exo stats 1ere S 27-12-18 à 15:00

enfin c'est pour la variance mais oui, c'est plus rapide d'appliquer les règles de calcul sigma

Posté par
thomaspcenre : exo stats 1ere S 27-12-18 à 15:32

Juste, j'ai un doute pour une application :

"Une entreprise décide de modifier sa politique salariale. Les salaires sont exprimés en milliers d'euros. Le salaire brut moyen est \overline{x} =2,4 l'écart-type s=1,2 et les différents salaires se répartissent entre 1,2 et 6.
On envisage une transformation affine xy=ax+b avec a>o de façon que la moyenne soit 2,5 et l'écart type 1,1. Déterminer les coefficients a et b. Dans quel intervalle seront alors les salaires"

Donc pour moi :
\overline{x} = 2,4
\overline{y} = 2,5
\sqrt{Vx} = 1,2
\sqrt{Vy} = 1,1

Posté par
thomaspcenre : exo stats 1ere S 27-12-18 à 15:34

et ensuite, selon ce qu'on a démontré avant :

- 2,5 = a * 2,4 + b
- (1,1)² = a² * (1,2)²

Est-ce qu'on doit faire un système ?

Posté par
heklare : exo stats 1ere S 27-12-18 à 15:52

oui vous avez un système mais un peu dégénéré puisque seul a figure dans la deuxième équation

Posté par
thomaspcenre : exo stats 1ere S 27-12-18 à 18:12

Donc a = 11/12 et b = 0,3 marche ?

Posté par
heklare : exo stats 1ere S 27-12-18 à 19:19

Oui mais il ne faut pas oublier que   \sqrt{a^2}=|a|

Posté par
thomaspcenre : exo stats 1ere S 29-12-18 à 17:40

Oui mais y'a pas de \sqrt{a^2}

On dit juste que s = \sqrt{v} donc v = s²

Posté par
heklare : exo stats 1ere S 29-12-18 à 18:06

Surprenant, je lis pourtant ceci  

Citation :
(1,1)² = a² * (1,2)²

Posté par
thomaspcenre : exo stats 1ere S 29-12-18 à 18:11

ah oui donc |v| =s²  mais ça ne change rien car les deux valeurs sont positives

Posté par
thomaspcenre : exo stats 1ere S 29-12-18 à 18:22

Désolé, vous avez raison ce que je dis n'a absolument rien à voir. Oui c'est -11/12 et 11/12 mais on garde le quel ?

Posté par
heklare : exo stats 1ere S 29-12-18 à 19:09

La réponse est dans l'énoncé

Citation :
On envisage une transformation affine x \mapsto y=ax+b avec a>o


si vous éliminez une valeur il faut le dire et le justifier c'était l'objet de ma remarque


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