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Expression de vn et un en fonction de n

Posté par
jenkspark 31-12-09 à 11:37

Bonjour, un exercice sur les suites me pose quelques problèmes...


(un) et (vn) sont les suites définies pour tout entier naturel n par un+1 = (1/3)un + n -1 et vn = 4un - 6n +15

1°) Démontrer que v(n) est une suite géométrique puis exprimer vn en fonction de n.
2°) En déduire l'expression de un en fonction de n.

-------------------------------------------------------------

1°) Alors j'ai fait la démonstration en calculant vn+1/vn et je trouve à la fin (je vous épargne le développement ) (4/3)un -2n +5 / 3[(4/3)un -2n +5] = 1/3
(vn) est donc bien une suite géométrique de raison q = 1/3

Par contre je n'arrive pas à exprimer vn en fonction de n...
vn= u0 X (1/3)n
Mais après? ^^

Et par conséquence je ne peux pas déduire la réponse de la question 2...


Pourriez vous me dire si la raison q = 1/3 est bonne et me donner un coup de main pour l'expression de vn et unen fonction de n SVP?

Merci d'avance et bonne année!

Posté par
Hiphigeniere : Expression de vn et un en fonction de n 01-01-10 à 09:05

Bonjour,

OK pour la suite géométrique de raison 1/3.

Attention pour le calcul de vn... Il s'agit de v0

2$\textrm v_n = v_0.(\frac{1}{3})^n

Tu as oublié de dire que u0 = 1 !

Tu peux alors calculer v0 = 4. u0 -6.0 + 15 = 4 - 0 + 15 = 19

Donc : 2$\textrm v_n = 19.(\frac{1}{3})^n

Tu peux ainsi calculer un puisque tu sais que vn = 4 un - 6n + 15 2$\textrm u_n = \frac{1}{4}.v_n + \frac{6n - 15}{4} = ...

Posté par
jenksparkre : Expression de vn et un en fonction de n 01-01-10 à 19:50

Oui, pour vn c'est v0 (Oups ^^)

Ahhhhh! u0= 1 c'est car un+1 = (1/3)un + n -1
Je n'y avais pas pensé, désolée...

Pour la simplification de un c'est compliqué à cause du 19, on ne peut pas simplifier (ou je ne vois pas comment)...
[19X(1/3)n + 6n - 15] / 4


Je crois que j'aurais encore besoin de votre aide... (je galère vraiment sur ce chapitre )

Merci d'avance

Posté par
Hiphigeniere : Expression de vn et un en fonction de n 01-01-10 à 21:53

non, le u0 = 1 ne provient pas de ce que tu as écrit.

Je le savais parce que c'est un exercice classique que j'ai déjà traité. D'aileurs je parie que tu vas me parler de suite arithmétique dans la suite et de la somme de certains tn...

C'est pour cela que je préfère que tu écrives

vn = 4 un - 6n + 15 2$\textrm u_n = \frac{1}{4}.v_n + \frac{6n - 15}{4} = \frac{19}{4}.(\frac{1}{3})^n + \frac{6n - 15}{4}

Posté par
jenksparkre : Expression de vn et un en fonction de n 02-01-10 à 10:40

Non, l'exercice est vraiment tel que je vous l'ai écrit et il n'y a pas d'autres questions.

Posté par
Hiphigeniere : Expression de vn et un en fonction de n 02-01-10 à 16:26

Mais alors, c'est très bien !  

Posté par
jenksparkre : Expression de vn et un en fonction de n 03-01-10 à 11:12

D'accord, merci! Pour le u0 aussi?

Posté par
jenksparkre : Expression de vn et un en fonction de n 04-01-10 à 18:57

Ah! Mon prof nous a dit aujourd'hui qu'il avait oublié de préciser dans l'énoncé que u0 = 1

En tout cas, merci beaucoup pour votre aide!

Posté par
Hiphigeniere : Expression de vn et un en fonction de n 04-01-10 à 19:48

Mais toi, tu l'as "senti" comme une pro !!!  


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