Bonsoir,

Soit a un réel. On considère la parabole d'équation : y= x²+5x+5 et l'ensemble d(a) des point M(x;y) dont les coordonnées vérifient l'équation : (2a+1)x-(a+1)y+1=0
On cherche a étudier l'intersection de P et de (da) .

1) Justifier que, pour tout réel a, l'ensemble (da) est une droite

2) On suppose dans cette question que a = -1
  a) Determiner une équation de la droite d(-1)
  b) en déduire que P et d(-1) se coupent en un unique point que l'on détermina

3) On suppose désormais que a ≠  -1
a) écrire l'équation de d(a) sous la forme y=mx+p  réduite
b) En déduire qu'un point du plan est un point d'intersection de P et de d(a) si, et seulement si, son abscisse est solution de l'équation du second degré (Ea)
x²+(3a+4/a+1)x+(5a+4/a+1)=0
c) Calculer le discriminant (delta)a de l'équation (Ea) et vérifier l'égalité (delta)a = (-11a2-12a)/(a+1)²
d) Etudier le signe de (delta)a en fonction des valeurs de a
e) En déduire le nombres de point d'intersection de P et de (d)a suivant les valeurs de a


Voici ce que j'ai fait:

1)    (2a+1)x - (a+1)y + 1 = 0
         (2a+1)x + 1 = (a+1)y
         (2a+1)/(a+1)x + 1/(a+1) = y         avec a ≠ -1

2) a)     (2*(-1)+1)x - (-1+1)y + 1 = 0
               (-2+1)x - 0y +1 = 0
                -x + 1 = 0
                 -x = -1  <=> x = 1

      b)  On résout le système d'équation:
  
              x = 1                         =>      x = 1                                              =>         x = 1                    =>   x = 1
              y = x2 + 5x + 5                y = 1(au carré) + 5*1 + 5                  y = 1 + 5 + 5             y = 11

Donc P et (d-1) se coupent en (1;11)

3)a)    (2a+1)x - (a+1)y +1 = 0
             (2a+1)x + 1 = (a+1)y
             y = (2a+1)/(a+1)x + 1/(a+1)

     b)    x(au carré) + 5x +5 = (2a+1)/(a+1)x + 1/(a+1)
             x(au carré) + (5ax + 5x + 5a + 5)/(a+1) - (2a+1)/(a+1)x - 1/(a+1) = 0
             x(au carré) + (5ax + 5x + 5a + 5 - 2ax - x - 1)/(a+1) = 0
             x(au carré) + (3ax + 4x)/(a+1) + (5a - 4)/(a+1) = 0
             x(au carré) + (3a - 4)/(a+1)x + (5a - 4)/(a+1) = 0

     c)   Δ = b(au carré) - 4ac
                = ((3a-4)/(a+1))(au carré) - 4*1*(5a-4)/(a+1)
                = (-11a(au carré) - 12a)/(a+1)(au carré)

     d)  (a+1)(au carré) > 0
            donc  Δ est de meme signe que -11a(au carré) - 12a
            -11a(au carré) - 12a = 0
            -a(11a - 12) = 0
            a = 0   ou    a = 12/11

                 - ∞                              -1                         0                     12/11                  + ∞

                                 -              double      -            0           +              0              -
                                                  barre

    Si a = 0 ou a = 12/11 alors on a 1 solution double
    Si a ∈ ] 0; 12/11[ alors on a 2 solutions distinctes
    Si x a  ∈  ] - ∞  ; -1 [U] -1;0 [U]12/11; + ∞[ olors on a 0 solution.

Est ce que mes résultats sont bons? Merci pour votre aide.