Une autre :  

Je pense que l'on peut dire d'une telle fonction qu'elle est toujours bijective
De plus, si elle est continue, alors c'est l'identité.

Bonjour,
@lavache,
Oui, pour l'exemple, on peut trouver plus généralement f(x) = a-b - a²/(x+b) .

"De plus, si elle est continue sur , alors c'est l'identité." A voir.

Bonjour à tous les deux

Je n'ai pas cherché d'exemple , j'ai simplement regardé le cas d'une fonction continue sur .

est bijective et donc est strictement monotone . Comme et ont la même monotonie et que est croissante alors est aussi croissante .

Maintenant s' il existe tel que ( ou de même si ) alors donc et comme est strictement croissante : c'est impossible .

Donc est l'identité .

Imod

D'accord

On a le même résultat sur un intervalle quelconque ( ce n'est pas un hasard si les exemples cités ont un domaine de définition à deux composantes connexes échangées par )

On peut d'ailleurs facilement créer une infinité d'exemples continus sur privé d'un point à partir d'un exemple sur ce domaine . Si est une fonction continue sur avec et ou et alors   est un nouvel exemple .

Et on a un seul point de discontinuité

Imod

Heu... Là, j'ai un peu de mal.
Avec le premier exemple, c'est à dire f(x) = 1 - 1/x :
D₁ = ]-;0[ et D₂ = ]0;+[ ?
Si oui, où sont les deux composantes connexes échangées par f

Par ailleurs, pour parler de fofof sur cet exemple, il faut travailler avec D = \{0;1} .
On peut préférer définir f sur ; il faut alors choisir f(0) = 0 et f(1) = 1 .

Oui , j'ai répondu trop vite , il y a deux paires d'intervalles qui s'échangent ( pas forcément les mêmes ) . Il reste tout de même qu'une solution sur les deux composantes connexes en génère une infinité d'autres sur la même paire .

Imod

salut

j'ai suivi de loin ... puisque les choses étaient déjà  dites ... quand je voulais les dire !!!

mais une remarque :

si f o f o f = I alors f o f o f o f = f <=> g = f o f et g o g = f

pour l'instant je ne sais pas si ça peut apporter quelque chose ... juste un point de vu ....

Oui, il y a des idées qui peuvent apparaître ainsi.

Je redonne la piste de Imod, allégée des D₁ et autres D₂ :
Si f o f o f = Id et g = p^-1 o f o p alors g o g o g = Id .

Bonsoir.
Il y a beaucoup de fonctions de ce type.
Autant que de partions de R en parties ayant un ou trois éléments.
Ce qui veut dire qu'il y en a au moins autant que de parties de R.

Si on se limite aux fonctions homographiques il me semble que le bon cadre est le complété projectif de R, c'est à dire R{}.

On peut remarquer qu'elles sont définies par la donnée de l'image et de l'antécédent de .
On a alors le schéma
aba
et on remarque que si a alors ba et b.

Merci verdurin pour cette réponse.
Pas très à l'aise avec ces notions

Pour vérifier que j'ai bien compris pour les fonctions homographiques :
En utilisant d'autres lettres que a et b .
c d c correspond à ?

On retrouve f(x) = a-b - a²/(x+b) (cf 8h05).

Pour moi le cadre du problème est trop ouvert , on peut y mettre à peu près tout ce que l'on veut .

On peut par exemple partitionner en trois morceaux équipotents , et fafriquer à peu près n'importe comment une bijection envoyant sur ,   sur et D_3 sur D_1 avec en prime f\circ f \circ f \circ f = Id  

Une fausse manœuvre m'a fait expédier un test , tant pis ( il faut faire avec )

L'idée était que d'un point de vue ensembliste on croulait sous les solutions . Si on cherche la continuité sur sauf un point , on bascule dans le projectif , pour plus d'un point ...

Imod

Bonjour,
j'aime bien généraliser.
Quelles sont les fonctions homographiques de la forme avec et , qui vérifient avec ( fois), ?
Pour ne pas avoir de souci avec l'ensemble de définition on posera et , comme cela est une bijection de dans lui-même.
J'impose pour éliminer le cas où

Bonjour,
Bonne idée de remplacer 3 par n

Une interprétation possible :

A f définie par , on peut associer la matrice .
A sera associé la matrice .
Il s'agit donc de trouver les matrices telles que .

Bon, le au dénominateur dans est maladroit.
On peut supposer .

avec et .

Et dans la matrice à la fin, remplacer les deux 1 par un même réel .

Bonjour Sylvieg,

c'est la méthode que j'ai utilisée.

Bonjour,
Mes souvenirs sur la diagonalisation des matrices ne sont pas top ; mais comme personne d'autre n'a répondu, j'ai quand même tenté quelque chose.
Je trouve que l'équation x²-(g+d)x+dg-e = 0 doit avoir 2 racines non réelles et qui vérifient

On tombe sur les racines n-ièmes de l'unité avec .

C'est cohérent pour n=3 .

Pour n=4 , j'arrive à trouver . Mais je n'arrive pas à généraliser

En vrac : = 4e+(g-d)² < 0 . (-)/(d+g) = tan (k/n) .

Bonjour Sylvieg,
bravo, tu es pratiquement arrivée au résultat que j'ai trouvé.
Il te reste à exprimer en fonction de g, d et e.
La formule finale est plus jolie en écrivant f(x)=d - ...

Il y a une autre méthode (non matricielle mais utilisant quand-même les nombres complexes) avec les points fixes de f (notés et ) et en écrivant .
Avec on obtient (après quelques calculs) le même résultat qu'avec la méthode matricielle.

Merci pour tes encouragements
Effectivement, c'est plus joli avec .

Je trouve .

A chaque jour suffit sa peine, l'autre méthode attendra

Très bien, c'est exactement ce que j'ai obtenu (avec a=d).
Pour que soit le plus petit entier strictement positif tel que il faut prendre premier avec .

Bonjour,
Je ne pensais pas trouver un résultat aussi "joli".
Évidemment, les ne sont pas souvent sympathiques.
Pour n = 6, on trouve encore quelque chose qui permet des coefficients entiers.
Un exemple : f(x) = (x-7)/(x-4) .

Je ne résiste pas au plaisir de donner quelques exemple pour n = 5 :

C'est vrai qu'avec des valeurs exactes les expressions vont beaucoup se compliquer quand augmente.
Voici un exemple avec :