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Niveau première
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fonction

Posté par es (invité) 28-01-03 à 07:55

A et B étant 2 pts du plan , tels que AB=8cm
On désigne C un demi cercle de diamètre [AB].
M est un pt quelconque de C et H est son projeté orthogonal sur [AB].

On pose [AH]=x.
1 démontrer que les triangles AMB ? AHM ? MBH sont semblables
2 En déduire que HM²=AH*HB
3 En déduire l aire du triangle AHM en fonction de x
soit la fonction définie sur [0 ;8] par f(x)=1/2xrac(8x-x²)
4 calculer f’(x)  
5 étudier les variations de la fonction f et faire le tableau de variations

6 en déduire l aire max   de AHM et la position de M dans ce cas  
merci

Posté par jesus (invité)alors.... 28-01-03 à 10:17

1)c est pas tres dur, ils sont rectangle, je te laisse le demontrer
2)là,il faut utiliser pythagore et  le fait que AB²=(AH+HB)²
soit AB²=AH²+HB²+2AH.HB   (o)
avec pythagore tu sais que AM²=HM²+HA²     (1)
                                      que BM²=HM²+HB²      (2)
                                  et que AB²=AM²+MB²      (3)
tu remplaces dans (3) AM² par (1) et MB² par (2)
et tu poses AB²=AH²+HB²+2AH.HB et la tu remplaces AB² par ce que tu
as trouve auparavant

3)l aire du triangle c'est base * hauteur /2
Aire=AH*HM/2
or HM tu vien de le calculer a la question 2)
HM=racine(AH*HB)
Aire=AH*racine(AH*HB)/2
HB=AB-AH
Aire=AH*racine(AH*(AB-AH))/2
on sait que AH=x et que AB=8 alors on remplace
Aire=(x/2)*racine(8x-x²)
4)f'=u'v+uv' avec
u=x/2
v=racine (8x-x²)
u'=1/2
v'=(8-2x)/(2.racine(8x-x²))
t as plus qu a calculer f'


f'=x²/(2*racine(8x-x²))

5) tableau de signe de f' et donc tableau de variation de f
f est croissante car f'>0 quelquesoit x
puis x²>0 et racine(8x-x²)>0
a verifier que 8x-x²>0 ce qui donne 8>x ce qui est bien le cas puisque
x est au maximum le rayon du cercle soit x>4
ce qui donne que le corps de la racine est toujours positif ce qui ne
nous restreint pas
si x etat superieur a 8 racine negative donc impossible

6)puisque f est croissante son maximum sera atteint pour le maximum de x soit
x=4

voila si t as des question envoir un mail...



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