Bonjour,

Voici un exercice:

Un artisan fabrique des objets. Il ne peut en produire plus de 70 par semaine.
Le coût de production, en euros, est modélisé par la fonction C définie sur l'intervalle
[0; 70] par :

C(x)= 0.01x^3-1.05x²+91x+225

Chaque objet est vendu 80 euros

1)a) Quel est le montant des coûts fixes pour cet artisan ?

b) Combien lui coûte la production de 25 objets ?

c) Vérifier que le fonction C est croissante sur l'intervalle [0; 70].

2) Le bénéfice en euros qu'il retire de la production et de la vente de x objets est modélisé par la fonction B définie sur l'intervalle [0, 70].

a) Exprimer B(x) en fonction de x.

b)Vérifier que B(25)=0

3)a) Etudier les variations de la fonction B sur l'intervalle [0; 70]

b) En déduire le nombre d'objets que l'artisan doit vendre et produire pour gagner de l'argent.

c)E n déduire le nombre d'objets que l'artisan doit vendre et produire pour que son bénéfice soit maximal.

Voici mes réponses :

1)a) C(x) = 0.01x^3-1.05x²+91x+225
          C(x)= 0.01*0^3-1.05*0²+91*0+225 = 225
Le montant des coûts fixes pour cet artisan est de 225 euros

b) C(25) = 0.01*25^3-1.05*25²+91*25+225
                   = 2000
La production de 25 objets lui coûte 2000 euros

c)Pour cet question, lorsque je fais le discriminant je trouve un nombre négatif alors j'ai regardée le signe de a qui est 0.03 supérieur à 0.
Donc :

C(x)=0.01x^3-1.05x²+91x+225
C'(x)=0.03x²-2.1x+91

= b²-4ac
= (-2.1)²-4*0.03*91
= -6.51

Etant donné que <0, négatif  je regarde le signe de a qui est 0.03>0

Donc  

   x                   0                                                         70

signe                                        +
de a
                
                                                                           4880
Variation                    SUPERIEUR
de C(x)      225

2a) B(x) en fonction de x :  80x-(0.01x^3 -1.05x² +91x +225)
                                                       :  -0.01x^3 +1.05 x² -11x -225

b) B(25) = -0.01*25^3 +1.05*25²-91*25-225
                  =  -2000
Donc C(25) - B(25) = 2000-2000 = 0

3)a) -0.01x^3+1.05x²-11x-225
         - 0.03x² + 2.1 x²-11

= b²-4ac
= 2.1²-4*(-0.03)*(-11)
= 3.05>0

deux solutions :

x1 = (-b-)/2a = (-2.1-3.09)/2*(-0.03) =(-2.1-3.09)/-0.06 = (105+5309)/3 64.3

x2 = (-b+)/2a = (-2.1+3.09)/-0.06=(105-5309)/3 5.7


3) a)             x    0                             5.7                     64.3           70
                 f'(x)           -                                      +                        -
                 f(x)     fleche qui                        elle                       elle descend
                              descend                            monte

b) Il faut qu'il produise entre 6 et 64 objets pour qu'il gagne de l'argent.

c) Il faut qu'il produise 35 objets pour que son bénéfice soit maximal.

Merci :)