Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau première
Partager :

fonction avec derivee

Posté par ouistiti (invité) 05-02-04 à 09:35

bonjour a tous, voilà j'ai résolu je pense la première question,
quelqu'un pourrait-il m'aider( sans me donner forcement
les réponses) j'aimerai réussir à comprendre comment il faut
faire car là je suis perdue

voici l'énonce

Exercice 1

Soit f la fonction définie sur    par :
F(x) = x2   |x-1|
Et C sa courbe représentative dans le repère orthonormal (O :  
, ) d'unité graphique de 10 cm

1. Exprimer f(x) sans valeur absolue en distinguant deux cas de figure

j'ai trouvé

1er cas x    1   (x-1)
0    |x-1| = x-1 d'où f(x) = x2  
(x-1)
2eme cas x   1    (x-1)  
  0   |x-1| = x-1 d'où f(x) = x2  
(x-1)

EST CORRECT ?

2. Etudier la dérivabilité de f en 1
Préciser l'éventuelle tangente à C mise en évidence

3. Etude des branches infinies

a) Résoudre dans    l'inéquation f(x)  
   x2
b) en déduire que f n'est pas bornée sur    et ses limites
aux bornes de son ensemble de définition
c) C admet-elle une (des) asymptotes(s) oblique(s)
Précisez le cas échéant son (leurs) équation (s)


4. Etudier las variations de f
On regroupera toutes les informations utiles dans un seul tableau

5. On appelle point d'inflexion, un point où la tangente à une courbe traverse
cette courbe en ce point. Par exemple x    x au
cube  admet un point d'inflexion en 0.
On admettra que Cg  la courbe représentative d'une fonction g, deux
fois déviable, admet un point d'inflexion en a si, et seulement si,
g''(a) = 0 et g'' change de signe en a

a)Déterminer les abscisses des points d'inflexion de C
b) En arrondissant toutes les valeur au centième ; déterminer les équations
des tangentes à C en ces points

6. Tracer les droites déjà mises en évidence, la tangente à C au point d'abscisse
- 0,5 et C

Posté par bigoudi (invité)re : fonction avec derivee 05-02-04 à 10:02

oui, çà parait bon

la fonction c'est bien x²|x-1| ?

dérivabilité en 1: tu dois calculer lim((f(x)-f(1))/(x-1)) quand x tend vers 1
ou lim((f(x+1)-f(x)) quand x tend vers 0 avec les deux valeurs de
f et voir si tu obtiens le même résultat. Si oui elle est dérivable
en 1, si non elle ne l'est pas et tu as deux demi tangentes.

pour l'inéquation tu fais f(x)-x² et tu etudies le signe


points d inflexions tu dérives deux fois tu regardes où çà s annule

une fois que tu as les abscisses tu utilies y=f '(a)(x-a)+f(a) pour
trouver l'équation des tangentes en ces points

précise moi la fonction et dis moi où tu en es, je chercherai plus


Posté par
watik
re : fonction avec derivee 05-02-04 à 10:49

bonjour
permettez moi de vous répondre  

1.) Exprimer f(x) sans valeur absolue

remarquez tout de suite que f est définie pour tout x élément de R.
Df=R.

1er cas x>=1   alors (x-1) >=0   et  |x-1| = x-1
d'où f(x) = x²rc(x-1)  c'est correct.  

rc() désigne la racine carré.

2eme cas x<=1   alors (x-1)<=0   |x-1| = -(x-1)=1-x c'est ici que
vous avez fait la faute.

il faux retenir que qq soit a élément de R:
|a|=a si a>=0
|a|=-a si a<=0

d'où f(x) = x²rc(1-x) si x<=1

2. Etudier la dérivabilité de f en 1
Préciser l'éventuelle tangente à C mise en évidence ?

vous étudiez la dérivabilité de f à gauche et à droit de 1.

f(1)=0

vous étudiez les deux limites:

lim(f(x)-f(1))/(x-1)  quand x tend vers 1+
et
lim(f(x)-f(1))/(x-1)  quand x tend vers 1-

remarquez tout de suite que:

(f(x)-f(1))/(x-1)=x²rc(x-1)/(x-1)   si x>1
                              =x²/rc(x-1)  ; en simplifiant par rc(x-1)

de même:

(f(x)-f(1))/(x-1)=x²rc(1-x)/(x-1)   si x<1
                              =-x²/rc(1-x)  ; en simplifiant par rc(1-x)

je vous laisse calculer les deux limites.


3. Etude des branches infinies

a) Résoudre dans    l'inéquation f(x)>=x2?

vous distinguez les deux cas x>=1 et x<=1.
pour x>=1 f(x)=x²rc(x-1)

vous calculez f(x)-x²=x²(rc(x-1)-1)

et vous étudiez le signe de f(x)-x²
qui alors la signe de rc(x-1)-1 sur [1,+oo[

de même:
pour x<=1 f(x)=x²rc(1-x)

vous calculez f(x)-x²=x²(rc(1-x)-1)

et vous étudiez le signe de f(x)-x²
qui alors la signe de rc(1-x)-1 sur ]-oo,1]

je vous laisse continuer la question.

b) en déduire que f n'est pas bornée sur  R  et ses limites
aux bornes de son ensemble de définition.

la résolution de l'inéquation de 2a) donne.

f(x)>=x² ssi xE]-oo,0]U[1,+oo[.

donc au voisinage de +oo ou -oo x²<=f(x).

comme limx²=+oo au voisinage de +oo et auvoisinage de -oo
donc f n'est pas bornée au voisinage de +oo et au voisinage de +oo.

et donc:
limf(x)=+oo quand x tend vers +oo ou x tend vers -oo.

c) C admet-elle une (des) asymptotes(s) oblique(s)
Précisez le cas échéant son (leurs) équation (s)


si xE[1,+oo[ x>0 et f(x)>=x²
en multipliant par 1/x les deux membres et puisque 1/x>0
vous obtenez f(x)/x >=x²/x
ssi f(x)/x>=x
vous déduisez alors lim(f(x)/x) lorsque x tend vers +oo et vous concluee
que f admet une direction asymptotique bien connue(je vous laisse
trouver cette direction assymptotique).

si xE]-oo,0] x>0 et f(x)>=x²
en multipliant par -1/x les deux membres et puisque -1/x>0
vous obtenez -f(x)/x >=-x²/x
ssi -f(x)/x>=-x
vous déduisez alors lim(f(x)/x) lorsque x tend vers -oo et vous concluez
que f admet une direction asymptotique bien connue(je vous laisse
trouver cette direction assymptotique).

4. Etudier las variations de f?

vous calculez la dérivé en appliquant les deux règles:

(uv)'=u'v+uv'
(rc(u))'=u'/2rc(u).

vous distinguez les deux cas :

xE[1,+oo[ f(x)=x²rc(x-1)
xE]-oo,1]  f(x)=x²rc(1-x).

j'ai trouvé si xE[1,+oo[ f '(x)=x(5x-4)/(2rc(x-1))
                  si xE]-oo,1] f '(x)=x(4-5x)/(2rc(1-x))

vous n'avez plus qu'à étudoer le signe de f'(x) et de déduire
les varion de f(x).

5)
a)Déterminer les abscisses des points d'inflexion de C

vous calculez f''(x) sur [1,+oo[.

moi j'ai trouvé f''(x)= (15x²-28x+12)/(2(x-1)rc(x-1))

donc f''(x) est du signe de 15x²-28x+12

vous calculez les zéros de 15x²-28x+12 et vous étudiez le signe.

moi j'ai trouvé x1=2/3 et x2=6/5.

et ils sont des points d'inflexion car f''(x) change
de signe autour des deux points x1 et x2.

faites de même pour f''(x) sur ]-oo,1].

b) En arrondissant toutes les valeur au centième ; déterminer les équations
des tangentes à C en ces points

f(2/3)=4/(9rc(3))

l'équation de la tangente en 2/3 est

y-f(2/3)=f'(2/3)(x-2/3)

vous continuez les calculs.

faites de même pour x2=6/5

et noubliez pas les deux autres point d'inflexion pour x<=1.

voila

je vous ai répondu comme vous l'avez souhaité.

j'espère que j'ai contribué à votre compréhension comme vous le désirez.

bon courage.

et si vous le souhaitiez je pourrais vérifier vos résultats si vous
les mettiez à la suite de ma réponse.

bonne chance.  

Posté par
watik
re : fonction avec derivee 05-02-04 à 15:06

rebonjour

pour la question 2.b)
" en déduire que f n'est pas bornée sur  R  et ses limites
aux bornes de son ensemble de définition. "

vous pouvez procéder par l'absurd.

supposez que f(x) est bornée au voisinage de +oo.

donc cette hypotèse peut s'écrire:

(il existe A>0)(qq soit B>0) x>B implique f(x)<A

comme x²<=f(x) au voisinage de +oo.

donc :

(il existe A>0)(qq soit B>0) x>B implique x²<f(x)<A

ce qui exactement le contraire de :

(qq soit A>0)(qil existe B>0) x>B implique A<x²

qui exprime que limx²=+oo en +oo.

ce qui est absurd.

donc f n'est pas bornée au voisinage de +oo.


voila pour la petite précision.

Posté par OUISTITI (invité)FONCTION AVEC DERIVEE 06-02-04 à 08:21

MERCI BEAUCOUP CELA M'AIDE A COMPRENDRE, vos explications me
sont d'une grande utilité. pourrais-je si j'ai une difficulte
de compréhension dans cet exercice vous solliciter à nouveau. De
toute façon je prendre au mot la proposition de Watik, dès que j'ai
terminé le devoir je lui soumetrais pour savoir si les résultats
sont corrects (évidemment si j'ai le temps avant mardi de revenir
sur le site)

encore merci

Posté par
watik
re : fonction avec derivee 06-02-04 à 09:35

bonjour
ça me fera plaisir de vous répondre.
essayez de faire l'exo par vous même et si vous compreniez tout le plaisir
serait pour moi.
bon courage.

Posté par ouistiti (invité)re : fonction avec derivee 07-02-04 à 19:37

est ce que tu peux me développer la question 5a avec plus de précision
? merci.Je reviendrais Lundi.

Posté par ouistiti (invité)re : fonction avec derivee 09-02-04 à 09:46

bonjour watik


j'ai travaillé tout le week end sur la question 5 et je ne suis pas arrivé
a trouver la dérivée de f'(x) comment as tu trouvé 15x au carré
+ 28 x +12 ?

peux tu m'expliquer ton calcul, je doit rendre mon devoir demain

pour le reste du devoir j'ai vu mon prof de math samedi matin et
il m'a dit que les résultat vu dans l'ensemble lui semblait
correct

a bientôt en espérant que tu pourra encore une fois me donner un petit
coup de pouce

ouistiti

Posté par
watik
re : fonction avec derivee 09-02-04 à 13:16

rebonjour voici comme promis la suite à votre dernière requette.


sur ]1,+oo[ on a: f'(x)=x(5x-4)/(2rc(x-1))
et sur ]-oo,1[ on a: f '(x)=x(4-5x)/(2rc(1-x))

nous alons utiliser la règle de dérivation suivante:

(u/v)'=(u'v-uv')/v²

sur ]1,+oo[  u(x)=x(5x-4)=5x²-4x  et v(x)=2rc(x-1)

u'(x)=10x-4 et v'(x)=2/2rc(x-1)=1/rc(x-1)

donc
u'(x)v(x)-u(x)v'(x)=(10x-4 )(2rc(x-1))-(5x²-4x)(1/rc(x-1))
                                 =((20x-8)rc(x-1)rc(x-1)-5x²+4x)/rc(x-1)
                                 = ((20x-8)(x-1)-5x²+4x)/rc(x-1)
                                 = (20x²-28x+8-5x²+4x)/rc(x-1)
                                 =(15x²-24x+8)/rc(x-1)

donc

f''(x)=)=(u'(x)v(x)-u(x)v'(x))/v²(x)
             = ((15x²-24x+8)/rc(x-1))/4rc(x-1)²
        =(15x²-24x+8)/4(x-1)rc(x-1)

vous constatez que ma première réponse il ya une erreur de calcul.

f''(x) est donc du signe de (15x²-24x+8) car (x-1) est strictement positif
sur ]1,+oo[.

D=24²-4.15.8=576-480=96=(4rc(6))²

donc x1=(24-4rc(6))/30=(12-2rc(6))/15
         x2=(12+2rc(6))/15

x1-1=(-3-2rc(6))/15<0 donc x1<1  x1 ne convient pas car il doit appartenir à ]1,+oo[.

x2-1=(-3+2rc(6))/15>0 donc x2>1 donc x2 convient.

comme (15x²-24x+8) change de signe autour de x2 donc x2 est un point d'inflexion.

Sur ]-oo,1[ f'(x)=x(4-5x)/(2rc(1-x))

u(x)=x(4-5x)=4x-5x²
v(x)=2rc(1-x)

u'(x)= 4-10x

v'(x)=-1/rc(1-x)  ; remarquez le (-) au numérateur.

u'(x)v(x)-u(x)v'(x)=(4-10x)2rc(1-x)-(4x-5x²)(-1/rc(1-x))
                                  = ((8-20x)rc(1-x)rc(1-x)+4x-5x²)/rc(1-x)
                                  = ((8-20x)(1-x)+4x-5x²)/rc(1-x)
                                  = (8-28x+20x²+4x-5x²)/rc(1-x)
                                  = (15x²-24x+8)/rc(1-x)

donc f''(x)=(u'(x)v(x)-u(x)v'(x))/v²(x)
                 = (15x²-24x+8)/4(1-x)rc(1-x)

on retrouve encore que f''(x) est de signe de 15x²-24x+8 donc
les racine étaient:
x1=(12-2rc(6))/15  et   x2=(12+2rc(6))/15

x1-1=(-3-2rc(6))/15<0 donc x1<1  x1 convient  car il appartient à ]-oo,1[.

x2-1=(-3+2rc(6))/15>0 donc x2>1 donc x2 ne convient pas car il n'appartient pas à
]-oo,1[.

en résumé:

sur ]1,+oo[ ; f''(x)=(15x²-24x+8)/4(x-1)rc(x-1) et f admet
un seul point d'inflexion x2=(12+2rc(6))/15

sur ]-oo,1[ ; f''(x)=(15x²-24x+8)/4(1-x)rc(1-x) et f admet
un seul point d'inflexion x1=(12-2rc(6))/15

voila come promis
bon courage

Posté par ouistiti (invité)re : fonction avec derivee 10-02-04 à 07:54

je te remercie pour ton aide, j'ai travaillé très tard hier
soir, j'avais la formule pour la dérivée mais c'était les
calculs ou ca n'allais mais grâce à tes explications j'ai
tout compris et fini enfin mon devoir que je dois rendre ce matin.
encore merci et a bientôt
ouistiti

Posté par capitaine croche (invité)coût marginal 06-03-04 à 10:58

coût de production : c(x)=180+12x-0.01x²
calculez la valeur du coût marginal : Cm(x)=C(x+1)-C(x)
calculez C'(x)
Quelle erreur quand on prend C'(x) comme valeur approchée du coût marginal
?



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1674 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !