Bonjour Elhor,

Merci pour ce problème très intéressant. Je propose une solution.
Question 1:

 Cliquez pour afficher

On peut dériver sous le signe intégral puisque est dominée sur tout segment [a,b] inclus dans par une fonction intégrable.
On obtient d'où
avec le changement de variable .

 Cliquez pour afficher

Il y a deux cas.
Pour on obtient qui conduit à .
On en déduit: . La constante C doit être prise égale à 0 pour que F possède un DL à l'ordre 1 en x=1.

Le cas se traite de manière analogue et donne:
.
On peut vérifier que la limite quand x tend vers 0 est égale à qui est bien égal à F(0).

Bravo Jandri !

 Cliquez pour afficher

C'est exactement ma solution Je le trouve beau ce recollement en !

_{L'idée de l'exercice m'est inspirée de ce topic} integrale

Bonjour Elhor,

On peut simplifier un tout petit peu l'expression finale de F(x):

 Cliquez pour afficher

Si : .
Si : .

Tout à fait Jandri !

Bonjour

J'avais l'équa diff, mais je n'ai pas su résister à l'envie de lire jandri

Par contre si vous pouviez jeter un oeil à ce problème Existe-t-il une formule de combinatoire pour..., je vous sais tous les deux très performants en combinatoire.

Bonne soirée !