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fonction dérivé

Posté par nonda59 (invité) 16-01-04 à 22:50

x au cube = x^3

Problème :
Utilisation d'une fonction auxiliaire

I Soit g définie sur [-5 ;3] par :
g(x) = x^3 + 2x² - 3
f(x)=(1/2)x²+2x+(3/x)


1) Calculer g'(x) et f'(x)
2) Etudier les variations de g et construire le tableau de variation de la fonction
g. Calculer les images des valeurs qui annulent la dérivée. Cette
fonction admet-elle des extremum locaux, si oui donner leurs valeurs.

3) Montrer que 1 est racine du polygone g(x) et justifier que l'équation g(x)=0
possède une solution unique dans [-5 ;3].
4) Donner en fonction de x le signe de g(x)
5) Montrer que f'(x) pour tout x appartenant à [-5 ;3] est le signe de g(x)
6) Etudier les variations puis construire le tableau de variation de la fonction
f. Calculer     les images des valeurs qui annulent la dérivée. Cette
fonction admet-elle des extremum  locaux, si oui donner leurs valeurs.
7) Calculez f(-5) et f(-4). Montrer que l'équation f(x) = 0 possède une solution
unique dans [-5 ;-4]

Voila ce que j'ai trouvé :
1) g'(x) = 3x²+4x    et f'(x) = x+2 - (3 / x² )
Les autres je les trouve pas
Aidez MOI

Posté par neo (invité)fonction dérivé ( pour J P ou Océanes ) 16-01-04 à 23:00

x au cube = x^3

Problème :
Utilisation d'une fonction auxiliaire

I Soit g définie sur [-5 ;3] par :
g(x) = x^3 + 2x² - 3
f(x)=(1/2)x²+2x+(3/x)


1) Calculer g'(x) et f'(x)
2) Etudier les variations de g et construire le tableau de variation de la fonction
g. Calculer les images des valeurs qui annulent la dérivée. Cette
fonction admet-elle des extremum locaux, si oui donner leurs valeurs.

3) Montrer que 1 est racine du polygone g(x) et justifier que l'équation g(x)=0
possède une solution unique dans [-5 ;3].
4) Donner en fonction de x le signe de g(x)
5) Montrer que f'(x) pour tout x appartenant à [-5 ;3] est le signe de g(x)
6) Etudier les variations puis construire le tableau de variation de la fonction
f. Calculer     les images des valeurs qui annulent la dérivée. Cette
fonction admet-elle des extremum  locaux, si oui donner leurs valeurs.
7) Calculez f(-5) et f(-4). Montrer que l'équation f(x) = 0 possède une solution
unique dans [-5 ;-4]

Voila ce que j'ai trouvé :
1) g'(x) = 3x²+4x    et f'(x) = x+2 - (3 / x² )
Les autres je les trouve pas
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** message déplacé **

Posté par
Victor
re : fonction dérivé 16-01-04 à 23:21

I
1) g'(x) = 3x²+4x=3x(x+4) et
f'(x) = x+2 - (3 / x² )=(x^3+2x²-3)/x²=g(x)/x².
2) g'(x) s'annule en x=0 et x=-4.
g' est négatif entre les racines donc g'(x)<0 si x appartient à
[-4,0].
et positif ailleurs.
g est donc croissante sur [-5,-4] puis décroissante sur [-4,0] puis
croissante sur [0,3].
g(0)=-3 (maximum local) et g(-4)=-35 (minimum local).
g.
3) g(1)=0 (à détailler) donc 1 est racine de g(x). L'équation g(x)=0
possède une solution unique dans [-5 ;3].
4) g(x)<0 si x<1 et g(x)>0 si x>1
5) f'(x) est du signe de g(x) car f'(x)=g(x)/x² et x²>0.
6) En utilisant le signe de g(x), on peut en déduire les variations
de f. Il faut ensuite calculer g(1).
Tu dois pouvoir faire la dernière question.

Bon courage.

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : fonction dérivé ( pour J P ou Océanes ) 17-01-04 à 11:58

1)
g'(x) = 3x²+4x
g'(x) = x(3x+4)

f '(x) = x + 2 - (3/x²)
f '(x) = (x³ + 2x² - 3)/x²
----
2)
g'(x) = x(3x+4)
g'(x) > 0 pour x dans [-5 ; -4/3[ -> g(x) croissante.
g'(x) = 0 pour x = -4/3
g'(x) < 0 pour x dans ]-4/3 ; 0[ -> g(x) décroissante.
g'(x) = 0 pour x = 0
g'(x) > 0 pour x dans ]0 ; 3] -> g(x) croissante.

Il y a donc un maximum de g(x) pour x = -4/3, ce max vaut g(-4/3) =
-1,8148...
et il y a un minimum de g(x) pour x = 0, ce min vaut g(0) = -3
-----
3)
g(1) = 1 + 2 - 3 = 0 -> x = 1 est solution de g(x) = 0

Des variations de g(x) et de la valeurs de ses extrema, on conclut que
g(x) s'annule pour une et une seule valeur de x, cette valeur
de x est 1.
-----
4)
g(x) < 0 pour x dans [-5 ; 1[
g(x) = 0 pour x = 1
g(x) > 0 pour x dans ]1 ; 3]
-----
5)
f(x)=(1/2)x²+2x+(3/x)

f '(x) = (x³ + 2x² -3)/x²
f '(x) = g(x)/x²

x² > 0 sauf en x = 0
-> f '(x) a le signe de g(x) pour x dans [-5 ; 0[ U ]0 ; 3]  et
f'x) n'existe en x = 0 (et d'ailleurs f(x) n'est
pas définie en x = 0).
-----
6)
f '(x) < 0 pour x dans [-5 ; 0[ -> f(x) est décroissante.
f '(x) n'existe pas en x = 0
f '(x) < 0 pour x dans ]0 ; 1[  -> f(x) est décroissante.
f '(x) = 0 pour x = 1
f '(x) > 0 pour x dans ]1 ; 3] -> f(x) est croissante.

Il y a minimum de f(x) pour x = 1, ce minimum vaut f(1) = (1/2) + 2
+ 3 = 11/2
-----
7)
f(-5) = 1,9 > 0
f(-4) = -0,75 < 0

Des variations de f(x) et des 2 lignes précédentes, on conclut que l'équation
f(x) = 0 possède une solution unique dans [-5 ;-4]
-----
Sauf distraction.


** message déplacé **



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