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Fonction dérivée première ES
Bonjour, je suis bloquée sur un exercice que voici :
Lors d'une épidémie observée sur une période de onze jours, un institut de veille sanitaire a modélisé l'évolution du nombre de malades par la formule suivante :
M(t) = - t (au cube) + [(21 t²) / (2)] + [(45 t) / (4)]
où t est le temps écoulé en jours depuis l'apparition des premiers malades et où M(t) est le nombre de milliers de malades à l'instant t. Cette formule est considérée comme correcte pour 0 < ou = t < ou = 11.
Vous arrondirez vos calculs au dixième de jour et au millier de malades près.
1. En étudiant les variations de M en fonction de t, montrer l'existence d'une phase de progression de la maladie suivie d'une phase de régression. Préciser la date à laquelle le nombre de malades est maximal et indiquer le nombre maximum de personnes atteintes.
2. On considère que la maladie est en phase épidémique lorsque le nombre de personnes atteintes dépasse 150 000 malades. En vous aidant de votre calculatrice, estimez les dates de débuts et de fin de la phase épidémique.
3. La maladie évolue plus ou moins vite en fonction du temps écoulé. La vitesse d'évolution de la maladie est égale à la dérivée M'(t). Elle s'exprime en millier de malades par jour.
a. Déterminer la vitesse d'évolution de la maladie au départ à l'apparition du premier malade.
b. Déterminer l'instant t auquel la vitesse d'évolution de la maladie est maximale. Combien vaut cette vitesse maximale ?
Si quelqu'un pourrait m'aider ce serait très gentil ! Merci d'avance.
Alors pour la 1) je sais qu'il faut calculer le sens de variations de la fonction M(t) et donc calculer la dérivée puis faire le tableau de variations.
M'(t) = 3t² + 42t + 45/4
Mais je ne sais pas si je dois encore simplifier ou laisser comme ça ?
Effectivement, merci.
Je n'ai pas à simplifier plus que cela ?
Je pensais mettre ensuite sous la forme ax + b afin de pouvoir étudier le sens de variations
la dérivée est du second degré impossible de la mettre sous 1 autre forme
tu dois calculer le discriminant pour étudier son signe et en déduire le sens de variation de f
Et moi j'ai laisser ma calculatrice allumer et de ce fait il n'y a plus de piles ! Est-ce que si je vous donne les résultats que j'ai trouvé dans l'après midi (pas possibilité d'avoir de nouvelles piles avant), vous pourrez me dire si ils sont juste ?
Voici donc les résultats obtenus lorsque j'ai calculé le discriminant :
Discriminant = b² - 4 ac
= 21² -4 x -3 x 45/4
= 441 + 12 x 45/4
= 441 + 540
= 981
Racine carré de 981 = 3 racine carré de 109
x1 = (-b - 3 racine carré de 109) / 2a
= (7 + racine carré de 109) / 2
x2 = (-b + 3 racine carré de 109) / 2a
= ( 7 - racine carré de 109) / 2
Est-ce que c'est juste ?
Bonsoir Emilie,
Sans calculatrice, il te reste ta tête.
Alors concentre toi.
= 21² - 4(3)(45/4) = 21² -3(45)
= 3²(7²) -3(3)15 = 3²(7²+15) = 3²(49+15) = 3²(64) =3²8² =(24)²
t1 = (-21 -24) /-6= 45/6 et t2 = (-21 + 24)/-6 = -1/2
D'accord et bien j'en étais très loin à ce que je vois. Je ne comprends pourtant pas ce que j'ai fais de faux mais bon... Je vois que vous avez tout décomposé, ce que je n'ai pas pensé à faire. En tout cas merci pour votre réponse!
Ensuite pour la question 2, je sais qu'il faut utiliser mon tableau de variation et ma calculatrice mais bon ça ne m'aide pas beaucoup... Quelqu'un pourrait m'aider ?
Pi finalement il me faudrait encore de l'aide pour la question 1. Pour faire mon tableau de variations j'ai également besoin de faire un tableau de signes non ? Et si oui, je prend le signe de quoi ?
Je ne comprends plus rien...
tu as appris et tu dois te souvenir que :
une fonction du type ax²+bx+c est du même signe que
a à l'extérieur des racines
tu dois étudier le signe de la dérivée qui s'annule pour t=-1/2 ou t=45/6
la dérivée est de degré 2, croissante ouis décroissante
elle est positive ou nulle sur [-1/2;45/6], négative avant et après
quand M'(t) est négative M(t) est décroissante...et inversement
Suivant cette logique je trouve O croissant -2,875 décroissant 222,75 croissant 63,25. C'est juste ?
C'est pour ça que j'ai commencer pour le tableau de signe par positif car j'ai appris qu'il fallait faire le contraire du coefficient directeur et donc de a. Mais ce tableau de signe c'est bien + 0 - 0 + non ?
En plus je vois que mes résultats ne vont pas car ils devraient être beaucoup plus élevés. J'ai vraiment besoin d'aide
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