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fonction dérivées

Posté par rosy (invité) 20-02-03 à 12:06

Voilà mon problème ::

1) soit la fonction polynome de la variable réelle x définie sur R par
:
P(x) = x au cube - 3x² + 3x - 3

a) démontrer que la fonction P est croissante sur R. => c'est fais.
b) en déduire que, pour x appartientà ]2 ; 2,2[ on a : P(x) < - 0,2

=> je l'ai fais mais je ne me suis pas servie du 1a) alors qu'ils
disaient "en déduire" .... j'ai simplement remplacé x par
2 puis par 2,2. est-ce bon ?? sinon comment faire ?

2) soit f la fonction numérique de la variable réelle de x définie par
:
f(x) = P(x) / (x-2)²

a) déduire de la question 1) que pour tout x élément de ]2 ; 2,2[ on
a :
f(x) < -0,2 / (x-2)² => c'est fais.

b) en déduire un nombre a tel que pour x appartient à ]2 ; 2 + a[, on
ait
f(x) < - 5.
Soit M un réel strictement positif.
existe-t-il un nombre b tel que, pour x appartient à ]2 ; 2 + b[, on ait f(x)
< - M
conclure.

=> pour le 2b) je n'y arrive vraiment pas.

3) déterminer la fonction dérivée de f sur ]2 ; 5] et étudier les variations
de f sur cette intervalle.

=> pour ca je fais la dérivée de f mais au niveau du tableau de signe
et de variation, je ne trouve pas les racines du trinome à mettre
dans le tableau.

merci d'avance

Posté par Guillaume (invité)re : fonction dérivées 20-02-03 à 15:48

1) b)
En fait tu as raison mais sans t'en rendre compte:
tuas remplacé x par 2 et par 2.2 et tu as verifié que c'etait inférieur
à -0.2,
mais cela n'est utille que si la fonction est croissante !!!

sinon imagine entre ces deux bornes, la fonction pourrait faire n'importe
quoi et devenir tres grande ou tres petite et depasser -0.2 tu comprend?

Si elle est croissante alors effectivement, c'est aux bornes qu'il
faut regarder combien elle vaut pour conclure d'ou le "en deduire"
qui t'intriguait....


2)b)
il faut resoudre
-0,2 / (x-2)²=-5
soit
(x-2)^2=-0.2/-5=0.04=
soit
x-2=0.2 ou x-2=-0.2
d'ou x=2.2 ou x=1.8

seul 2.2 est plus grand que 2 c'est donc la solution

il faut resoudre
-0,2 / (x-2)²=-M
(x-2)^2=0.2/M
x-2=rac(0.2/M)
ou x-2=-rac(0.2/M)

x=2+rac(0.2/M) ou x=2-rac(0.2/M)
la deuxieme ne vas pas car elle est plus grand que 2
il reste donc une solution =x=2+rac(0.2/M)


3)
p(x)=x3 - 3x² + 3x - 3=(x-1)^3   plus simple de factoriser
p'(x)=3x2-6x+3=(x-1)(3x-3)=3(x-1)(x-1)=3(x-1)^2  idem

f(x)=p(x)/(x-2)^2

f'(x)=[p'(x)(x-2)^2-p(x)2*(x-2)]/[(x-2)^4]
= [3(x-1)^2(x-2)^2-2*(x-1)^3*(x-2)]/[(x-2)^4]
=(x-1)^2[3*(x-2)-2*(x-1)]/[(x-2)^3]

f'=(x-1)^2(x-4)/[(x-2)^3]

les changement de signe sont donc pour x=4 et x=2 je te laisse faire
les variations....



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